tích của một vectơ với một số

1. Lý thuyết cơ phiên bản về tích vectơ với 1 số

1.1. Định nghĩa tích vectơ với 1 số

Bạn đang xem: tích của một vectơ với một số

Tích của vectơ với một vài được khái niệm như sau:

Cho một vài thực $k\neq 0$, vectơ $\vec{a}\neq 0$. 

Tích của vectơ $\vec{a}$ với một vài thực $k\neq 0$ là một vectơ, kí hiệu k$\vec{a}$, nằm trong phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k>0, ngược phía với vectơ $\vec{a}$ nếu như k<0, vecto k$\vec{a}$ có tính nhiều năm bởi vì $\left | k \right |\left | \vec{a} \right |$.

Quy ước: $0\vec{a}$=0; k$\vec{0}$=$\vec{0}$

1.2. Tính hóa học tích của vectơ với cùng 1 số 

Tích của vectơ với một vài sở hữu những tính chất:

a, Tính phân phối với luật lệ nằm trong vectơ:

$k(\vec{m}+\vec{n})=k\vec{m}+k\vec{n}$

b, Tính phân phối với luật lệ với những số:

$(a+b)\vec{x}=a\vec{x}+b\vec{x}$

c, Tính kết hợp:

$a(\vec{bc})=(ab)\vec{c}$

d, $1\vec{a}=\vec{a}, (-1)\vec{a}=-\vec{a}$

e, $k\vec{a}=0 \Leftrightarrow k=0$ hoặc $\vec{a}=0$

Áp dụng: 

• Nếu E là trung điểm của đoạn trực tiếp MN thì với từng điểm I, tao có: 

               $\vec{IM}+\vec{IN}=2\vec{IE}$

• Nếu U là trọng tâm tam giác NCT thì từng điểm I tao có:

               $\vec{IN}+\vec{IC}+\vec{IT}=3\vec{IU}$

1.3. Điều khiếu nại nhằm nhì vectơ nằm trong phương

• Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b} (\vec{b}\neq 0)$ nằm trong phương là tồn bên trên một vài k sao mang lại $\vec{a}=k\vec{b}$.

• Ba điểm phân biệt M, N, O trực tiếp mặt hàng khi và chỉ khi sở hữu số $k\neq 0$ để $\vec{MN}=k\vec{MO}$.

1.4. Cách phân tách một vectơ trở thành nhì vectơ ko nằm trong phương

Cho vectơ $\vec{a}$ và vectơ $\vec{b}$ là nhì vectơ ko nằm trong phương. Khi cơ từng vectơ kđều được màn biểu diễn một cơ hội có một không hai bám theo nhì vecto $\vec{a},\vec{b}$: $\vec{k}=m\vec{a}+n\vec{b}$, nhập cơ m, n là những số thực có một không hai.

Nắm hoàn hảo kỹ năng và kiến thức Toán ôn đua chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông ngay!

2. Một số bài bác tập luyện tích của vectơ với 1 số

2.1. Tính phỏng nhiều năm vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng khái niệm và những quy tắc nằm trong, trừ những vectơ nhằm dựng vectơ chứa chấp tích của vectơ với một vài, kết phù hợp với những ấn định lý Pytago, hệ thức lượng nhập tam giác vuông nhằm tính phỏng nhiều năm vectơ.

Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh a, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng những vectơ tiếp sau đây và tính phỏng nhiều năm của chúng:

a, $\vec{MA}+\frac{1}{2} \vec{CB}$

b, $\vec{BA}-\frac{1}{2} \vec{BC}$

c, $2\vec{AC}+\frac{11}{2} \vec{AB}$

d, $\frac{5}{2}\vec{MB}+\frac{3}{4}\vec{MA}$

Lời giải: 

a, Ta có: $\frac{1}{2}\vec{CB}=\vec{CM}$

Theo quy tắc 3 điểm tao được: 

$\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{MA}=\vec{CM}+\vec{MA}=\vec{CA}$

Vậy: $\left | \frac{1}{2} \vec{CB+\vec{MA}}\right |=\left | \vec{CA} \right |=a$

b, Vì $\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{BC}$ nên bám theo quy tắc trừ tao có:

$\vec{BA}-\frac{1}{2}\vec{BC}=\vec{BA}-\vec{BM}=\vec{MA}$

Theo ấn định lý Pytago tao có: $MA=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy, $\left | \vec{BA}-\frac{1}{2}BC \right |=\vec{MA}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua loa A, Phường là đỉnh của hình bình hành APQN

d, Lấy điểm K nằm trong đoạn AM sao mang lại $MK=\frac{3}{4}MA$, điểm H nằm trong tia $\vec{BM}$ sao mang lại $\vec{MH}=\frac{5}{2}\vec{MB}$.

Ví dụ 2: Hình vuông ABCD sở hữu cạnh a

a, Chứng tỏ rằng $\vec{u}=a\vec{MA}-3\vec{MB}+\vec{MC}-2\vec{MD}$ ko tùy thuộc vào địa điểm của điểm M.

b, Tính $\left | \vec{u} \right |$.

Lời giải:  

a, Giả sử O là tâm hình vuông vắn ABCD. gí dụng quy tắc 3 điểm tao có: 

$\vec{u}=4\vec{MO}+\vec{OA}-3\vec{MO}+\vec{OB}+\vec{MO}+\vec{OC}-2\vec{MO}+\vec{OD}=4\vec{OA}-3\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OD}$

Mà: $\vec{OD}=-\vec{OB}, \vec{OC}=-\vec{OA}$ nên $\vec{u}=3\vec{OA}-\vec{OB}$

=> Vecto $\vec{u}$ ko dựa vào địa điểm của điểm M.

Xem thêm: các dạng toán lớp 5

b, Lấy A' bên trên $\vec{OA}$ sao mang lại OA'=3OA

Khi đó: $\vec{OA'}=3\vec{OA}\Rightarrow \vec{u}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\vec{BA'}$

Mặt khác:

$\vec{BA'}=\sqrt{OB^{2}+(OA')^{2}}=\sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=a\sqrt{5}\Rightarrow \vec{u}=a\sqrt{5}$

2.2. Tìm một điểm thỏa mãn nhu cầu một đẳng thức vectơ mang lại trước

Phương pháp giải: 

• Biến thay đổi đẳng thức vectơ trở thành dạng $\vec{AN}=\vec{a}$, điểm A và $\vec{a}$ vẫn biết. Khi cơ tồn bên trên có một không hai một điểm N sao mang lại $\vec{AN}=\vec{a}$. Để dựng điểm N, tao lấy điểm A thực hiện gốc, dựng một vectơ bởi vì vectơ $\vec{a}$, kể từ cơ suy rời khỏi được điểm ngọn là vấn đề N.

• Biến thay đổi về đẳng thức vectơ vẫn biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn trực tiếp.

Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm những điểm M,N,Phường sao cho:

a, $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$
b, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}$
c, $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Lời giải:

a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC

=> $\vec{MB}+\vec{MC}=2\vec{MI}$

Do đó: $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

$2\vec{MA}+2\vec{MI}=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{MA}+\vec{MI}=\vec{0}$

=> Điểm M là trung điểm đoạn trực tiếp AI

b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD tao có:

$\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}+\vec{ND}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{NK}+2\vec{NH}=\vec{0}$

=> Điểm N là trung điểm đoạn trực tiếp KH

c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD tao có:

$\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=3\vec{PG}$

=> $3\vec{PA}+\vec{PB}+\vec{PC}+\vec{PD}=\vec{0}$

Điểm Phường là trung điểm đoạn trực tiếp AG.

Ví dụ 2: A, B là nhì điểm mang lại trước, nhì số thực $\alpha ,\beta $ thỏa mãn nhu cầu $\alpha+\beta\neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn bên trên có một không hai một điểm I sao mang lại $\alpha\vec{IA}+\beta \vec{IB}=\vec{0}$. Từ cơ suy rời khỏi được $\alpha\vec{MA}+\beta \vec{MB}=(\alpha +\beta )\vec{MI}$ (M là vấn đề bất kì).

Lời giải: 

2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: gí dụng những loài kiến thức: đặc thù vectơ, quy tắc tía điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc luật lệ trừ, đặc thù trung điểm, đặc thù trọng tâm tam giác nhằm thay đổi.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:

1. $\vec{BD}+\vec{AC}=2\vec{IJ}$

2. $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}=\vec{0}$

3. Với điểm M bất kì: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}=4\vec{MO}$

Lời giải: 

Ví dụ 2: Tam giác ABC sở hữu AB=c, CA=b, BC=a, G là trọng tâm. Giả sử D,E,F theo thứ tự là hình chiếu của trọng tâm G lên những cạnh AB, AC,BC. Chứng minh:

$a^{2}\vec{GD}+b^{2}\vec{GE}+c^{2}\vec{GF}=\vec{0}$

Lời giải: 

Đăng ký ngay lập tức và để được những thầy cô tổ hợp kỹ năng và kiến thức và thiết kế trong suốt lộ trình ôn đua sớm kể từ bây giờ

Hy vọng nội dung bài viết bên trên trên đây đã hỗ trợ những em tóm được kỹ năng và kiến thức về tích của vectơ với một vài. Cạnh cạnh việc học tập lý thuyết những em cần thiết rèn luyện tăng những dạng bài bác tập luyện hoặc bắt gặp để sở hữu được bài bác đánh giá môn Toán đạt thành phẩm cao. Dường như những em hãy truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện và đào tạo ngay lập tức kể từ ngày hôm nay nhằm tiếp thu kiến thức chất lượng tốt rộng lớn nhé!

Xem thêm: get on well with là gì