số nguyên dương là gì

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng sử dụng vô lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể vô lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: số nguyên dương là gì

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tứ Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số vẹn toàn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát tháo GL(n)
  • Tuyến tính đặc biệt quan trọng SL(n)
  • Trực gửi gắm O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực gửi gắm đặc biệt quan trọng SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita đặc biệt quan trọng SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp gửi gắm hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội phổ biến là một số trong những hoàn toàn có thể được viết lách nhưng mà không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số vẹn toàn, trong những lúc 9,75, 5 1/2 ko cần là số vẹn toàn.

Tập thích hợp những số vẹn toàn bao hàm 0, những số đương nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch ngợm hòn đảo phép tắc nằm trong của bọn chúng (là những số vẹn toàn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập thích hợp những số vẹn toàn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn sở hữu viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là một trong những tập kết con cái của tập kết những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là một trong những tập kết con cái của tập kết những số thực . Giống như tập kết những số đương nhiên, là tập kết vô hạn điểm được.

Các số vẹn toàn tạo ra trở nên group nhỏ nhất và khoanh nhỏ nhất chứa chấp những số đương nhiên. Trong lý thuyết số đại số, những số vẹn toàn nhiều lúc được xem như là số vẹn toàn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số vẹn toàn đại số tổng quát tháo rộng lớn. Trên thực tiễn, số vẹn toàn (hữu tỉ) là số vẹn toàn đại số nhưng mà cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng làm biểu thị những tập kết không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong số những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số vẹn toàn dương, hoặc cho những số vẹn toàn ko âm và cho những số vẹn toàn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số vẹn toàn không giống 0, trong những lúc những người dân không giống dùng nó cho những số vẹn toàn ko âm hoặc cho tới {–1, 1}. Bên cạnh đó, được dùng nhằm biểu thị tập dượt những số vẹn toàn modulo p[2] (tức là tập dượt những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc tập dượt những số vẹn toàn p -adic.[1][6][7]. chính vì vậy nếu còn muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì cần khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này đó là sai. Có một số trong những bài bác vấn đề minh chứng quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại cút tình huống không giống ko.Chúng tớ cần địa thế căn cứ vô sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, vô sách lớp 6 tập kết số vẹn toàn chỉ mất kí hiệu là Z nên lúc tất cả chúng ta cho tới đề nhưng mà sở hữu sử

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số vẹn toàn hoàn toàn có thể được xem như là những điểm tách rốc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số lâu năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số vẹn toàn ko âm được hiển thị vì thế greed color lam và số vẹn toàn âm red color.

Giống tựa như các số đương nhiên, là tập kết đóng góp với những phép tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhì số vẹn toàn ngẫu nhiên là một số trong những vẹn toàn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số vẹn toàn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số đương nhiên, cũng chính là tập kết đóng góp với phép tắc trừ.[8]

Các số vẹn toàn tạo ra trở nên một khoanh đơn vị chức năng, vốn liếng là khoanh cơ phiên bản nhất, bám theo nghĩa sau: so với ngẫu nhiên khoanh đơn vị chức năng này, đều phải sở hữu một phép tắc đồng cấu có một không hai kể từ những số vẹn toàn vô khoanh này. Thuộc tính phổ quát tháo này, ví dụ là một trong những đối tượng người sử dụng ban sơ vô loại khoanh, là đặc thù cho tới khoanh .

ko đóng góp với phép tắc phân chia, vì thế thương của nhì số vẹn toàn (ví dụ: 1 phân chia cho tới 2) hoàn toàn có thể ko là số vẹn toàn. Mặc cho dù những số đương nhiên là đóng góp với phép tắc lũy quá, tuy nhiên những số vẹn toàn thì ko (vì thành phẩm hoàn toàn có thể là một trong những phân số Khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một số trong những đặc thù cơ phiên bản của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân so với ngẫu nhiên số vẹn toàn a, bc:

Tính hóa học của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính gửi gắm hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch ngợm đảo: a + (−a) = 0 Số vẹn toàn có một không hai sở hữu thành phần nghịch ngợm hòn đảo (gọi là đơn vị) là −11.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)  (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không sở hữu ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngữ điệu của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác định rằng là một trong những group abel với phép tắc nằm trong. Nó cũng là một trong những group cyclic, vì thế từng số vẹn toàn không giống 0 đều hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với phép tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — bám theo tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được cho phép nhân bảo rằng cùng theo với phép tắc nhân là một trong những monoid gửi gắm hoán. Tuy nhiên, ko cần từng số vẹn toàn đều phải sở hữu nghịch ngợm hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Tức là với phép tắc nhân ko cần là một trong những group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với phép tắc nằm trong và phép tắc nhân là một trong những khoanh gửi gắm hoán sở hữu thành phần đơn vị chức năng. Nó là vẹn toàn khuôn mẫu của toàn bộ những đối tượng người sử dụng của cấu tạo đại số như thế. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong những cho tới toàn bộ những độ quý hiếm của đổi thay, thì cũng chính là đúng trong những ngẫu nhiên khoanh gửi gắm hoán sở hữu đơn vị chức năng này. Một số số vẹn toàn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 vô một số trong những khoanh chắc chắn.

Việc thiếu thốn những ước số của 0 trong những số vẹn toàn (thuộc tính ở đầu cuối vô bảng) Tức là khoanh gửi gắm hoán là một trong những miền vẹn toàn.

Việc thiếu thốn những phép tắc nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko cần là đóng góp với phép tắc phân chia, Tức là không phải là một trong những ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số vẹn toàn bên dưới dạng một khoanh con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình kiến thiết những số hữu tỉ kể từ những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được học theo muốn tạo trở nên ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền vẹn toàn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), khoanh số vẹn toàn của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể khoanh con cái của chính nó.

Mặc cho dù phép tắc phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , phép tắc phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là phép tắc phân chia Euclid, và sở hữu đặc thù cần thiết sau: cho tới nhì số vẹn toàn ab với b ≠ 0, tồn bên trên những số vẹn toàn qr có một không hai sao cho tới a = q × b + r0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số vẹn toàn q được gọi là thươngr được gọi là phần dư của phép tắc phân chia a cho tới b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 sinh hoạt với cùng 1 chuỗi những phép tắc phân chia Euclid.

Một đợt tiếp nhữa, vô ngữ điệu của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là một trong những khoanh Euclid. Như vậy ý niệm rằng là một trong những khoanh ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số vẹn toàn dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số nhân tố bám theo một cơ hội cơ phiên bản có một không hai.[10] Đây là tấp tểnh lý cơ phiên bản của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là một trong những tập kết sở hữu trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số vẹn toàn là dương nếu như nó to hơn 0 và âm nếu như nó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số vẹn toàn tương quí với những phép tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < bc < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tớ tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là một trong những khoanh sở hữu trật tự.

Các số vẹn toàn là group abel sở hữu trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường có một không hai sở hữu những thành phần dương được bố trí bám theo trật tự hợp lí.[11] Như vậy tương tự với tuyên thân phụ rằng ngẫu nhiên khoanh nhận xét Noether nào thì cũng là một trong những ngôi trường — hoặc một khoanh định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to tát 5
Các điểm red color thể hiện nay những cặp số đương nhiên sở hữu trật tự. Các điểm red color được link là những lớp tương tự thay mặt cho những số vẹn toàn greed color lam ở cuối loại.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số vẹn toàn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan liêu là những số đương nhiên (dương), số 0 và những số đối của những số đương nhiên. Tuy nhiên, loại khái niệm này kéo theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi phép tắc toán số học tập rất cần được xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc minh chứng rằng những số vẹn toàn tuân bám theo những tấp tểnh luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do tê liệt, vô toán học tập lý thuyết tập kết tiến bộ, một cấu tạo trừu tượng hơn[13] được cho phép người tớ xác lập những phép tắc toán số học tập nhưng mà không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do tê liệt, những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được kiến thiết đầu tiên tựa như các lớp tương tự của những cặp số đương nhiên sở hữu trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của thành phẩm của phép tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 24 − 5 biểu thị nằm trong một số trong những, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: đại học mở điểm chuẩn

chỉ khi

Phép nằm trong và phép tắc nhân những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được khái niệm bám theo những phép tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự sở hữu (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc phép tắc nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc cộng) của một số trong những vẹn toàn giành được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do tê liệt phép tắc trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là phép tắc cùng theo với nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc cộng:

Thứ tự động xài chuẩn chỉnh bên trên những số vẹn toàn được thể hiện với bất đẳng thức:

Khi và chỉ Khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy thuộc vào việc lựa lựa chọn thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự sở hữu một member có một không hai sở hữu dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhì và một lúc). Số đương nhiên n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số đương nhiên được nhúng vô những số vẹn toàn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và cho tới lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do tê liệt, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số đương nhiên được xác lập với những số vẹn toàn ứng (sử dụng phép tắc nhúng được nhắc ở trên), thì quy ước này sẽ không dẫn đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này hồi phục màn biểu diễn không xa lạ của những số vẹn toàn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm kiến thiết những số vẹn toàn được dùng vì thế những máy tìm hiểu tấp tểnh lý tự động hóa và những dụng cụ viết lách lại thuật ngữ. Số vẹn toàn được màn biểu diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được kiến thiết bằng phương pháp dùng một vài ba phép tắc toán cơ phiên bản (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số đương nhiên, được giả thiết là đã và đang được kiến thiết (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội kiến thiết những số vẹn toàn sở hữu lốt.[16] Các cấu tạo này không giống nhau bám theo một số trong những cách: con số những phép tắc toán cơ phiên bản được dùng cho tới cấu tạo, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những phép tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng vẻ mặt mũi của những số đương nhiên thực hiện đối số của một số trong những phép tắc toán này và thực tiễn là những phép tắc toán này còn có cần là hàm tạo ra tự tại hay là không, tức là nằm trong một số trong những vẹn toàn hoàn toàn có thể được màn biểu diễn chỉ vì thế một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật kiến thiết những số vẹn toàn được trình diễn phía trên vô phần này ứng với tình huống ví dụ vô tê liệt sở hữu một cặp phép tắc toán cơ phiên bản duy nhất nhận đối số là nhì số đương nhiên và trả về một số trong những vẹn toàn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì thế số vẹn toàn 0 hoàn toàn có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật kiến thiết này được dùng vì thế trợ lý minh chứng Isabelle; tuy vậy, nhiều dụng cụ không giống dùng những nghệ thuật kiến thiết thay cho thế, xứng đáng xem xét là những nghệ thuật dựa vào những cấu tạo tự tại, giản dị và đơn giản rộng lớn và hoàn toàn có thể được tiến hành hiệu suất cao rộng lớn vô PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số vẹn toàn thông thường là một trong những loại tài liệu vẹn toàn thủy trong những ngữ điệu PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số vẹn toàn chỉ hoàn toàn có thể thay mặt cho 1 tập kết con cái của toàn bộ những số vẹn toàn, vì thế PC thực tiễn sở hữu dung tích hữu hạn. Bên cạnh đó, vô màn biểu diễn phép tắc bù nhì phổ cập, khái niệm cố hữu của lốt phân biệt thân thiết "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn rằng PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số vẹn toàn sở hữu thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số vẹn toàn có tính lâu năm cố định và thắt chặt (hoặc tập kết con) được ký hiệu là int hoặc Integer vô một số trong những ngữ điệu lập trình sẵn (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn biểu diễn số vẹn toàn có tính lâu năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số vẹn toàn này một vừa hai phải với bộ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số vẹn toàn không giống được lên kế hoạch với độ dài rộng cố định và thắt chặt, thông thường là một số trong những bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một số trong những chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tập kết những số lý do 0 (aleph-null). Điều được đơn giản minh chứng bằng sự việc kiến thiết một tuy vậy ánh, tê liệt là một trong những hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tớ kiểm tra hàm sau:

Xem thêm: voi con ở bản đôn

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn vô vậy thì từng và từng thành phần của sở hữu một và duy nhất thành phần ứng của và bám theo khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhì tập kết này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số vẹn toàn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày đôi mươi mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to tát Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: bộ vi xử lý Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide to tát Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn phiên bản 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem đôi mươi.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng bốn năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to tát Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ phiên bản gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons được thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số vẹn toàn bên trên MathWorld.