Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bạn đang xem: hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tớ có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vày tổng những bình phương của nhị cạnh sót lại trừ lên đường nhị thứ tự tích của nhị cạnh cơ nhân với $cosin$ của góc xen thân thích bọn chúng.

Ta sở hữu những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ ngược của toan lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng lâu năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ sở hữu những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng lâu năm những đàng trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thích một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vày 2 lần bán kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo đòi một trong những công thức sau

Xem thêm: văn tả cảnh công viên lớp 5

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp, bk đàng tròn xoe nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm nhập việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Khi tiếp tục biết một vài nhân tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết thám thính ông tơ contact trong những góc, cạnh tiếp tục mang đến với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu nhập toan lí cosin, toan lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhị góc.

=> Dùng toan lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhị cạnh và góc xen giữa

=> Dùng toan lí cosin nhằm tính cạnh loại tía.

Sau cơ người sử dụng hệ ngược của toan lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tớ dùng hệ ngược của toan lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần Note là 1 trong những tam giác giải được Khi tớ biết 3 nhân tố của chính nó, nhập cơ cần sở hữu tối thiểu một nhân tố chừng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng nhập những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.