Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy quá là những hàm số dạng \(y = {x^\alpha }\left( {\alpha \in R} \right)\). Các hàm số lũy quá với tập luyện xác lập không giống nhau, tùy từng \(\alpha\):

- Nếu \(\alpha\) vẹn toàn dươngthì tập luyện những toan là \(R\).

- Nếu \(\alpha \) vẹn toàn âm hoặc \(\alpha = 0\) thì tập luyện những toan là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\).

- Nếu \(\alpha \) ko vẹn toàn thì tập luyện những toan là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Chú ý: Hàm số \(y = \sqrt x \) có tập luyện xác lập là \(\left[ {0; + \infty } \right)\), hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) có tập luyện xác lập \(R\), trong lúc cơ những hàm \(y = {x^{\frac{1}{2}}},hắn = {x^{\frac{1}{3}}}\) đều với tập luyện xác lập \((0; +∞)\). Vì vậy \(y = \sqrt x \) và \(y = {x^{\frac{1}{2}}}\) ( hoặc \(y = \sqrt[3]{x}\) và \(y = {x^{\frac{1}{3}}}\)) là những hàm số không giống nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số nón tổng quát

- Hàm số \(y = {x^\alpha }\) có đạo hàm tai từng \(x ∈ (0; +∞)\) và \(y' = \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)

- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận độ quý hiếm dương và với đạo hàm trong vòng \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }\left( x \right)\) cũng với đạo hàm trên \(J\) và \[y' = \left[ {{u^\alpha }\left( x \right)} \right]' = \alpha {u^{\alpha - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

3. Đạo hàm của hàm số lũy quá với số nón vẹn toàn dương

Trong tình huống số nón vẹn toàn dương, hàm số lũy quá \(y=x^n\) có tập luyện xác lập là \(R\) và với đạo hàm bên trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy quá tổng quát tháo được không ngừng mở rộng thành \(\forall x \in R,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\] nếu \(u= u(x) \) với đạo hàm trong vòng \(J\).

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số nón vẹn toàn âm

Nếu số nón là số vẹn toàn âm thì hàm số lũy quá \(y=x^n\) với tập luyện xác lập là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và với đạo hàm bên trên từng \(x\) không giống \(0\), công thức đạo hàm hàm số lũy quá tổng quát tháo được không ngừng mở rộng trở nên \(\forall x \ne 0,\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và \[\forall x \in J,\left[ {{u^n}\left( x \right)} \right]' = n{u^{n - 1}}\left( x \right)u'\left( x \right)\]

nếu \(u= u(x) \ne 0\) với đạo hàm trong vòng \(J\).

5. Đạo hàm của căn thức

Xem thêm: các bước để tạo liên kết giữa các bảng là

Hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) có thể coi là không ngừng mở rộng của hàm lũy quá \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) (tập xác lập của \(y = \sqrt[n]{x}\) chứa tập luyện xác lập của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) và bên trên tập luyện xác lập của \(y = {x^{\frac{1}{n}}}\) thì hai hàm số trùng nhau).

Khi \(n\) lẻ thì hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) với tập luyện xác lập \(R\). Trên khoảng chừng \((0; +∞) \) tao với \(y = \sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) và \(\left( {{x^{\frac{1}{n}}}} \right)' = \dfrac{1}{n}{x^{\frac{1}{n} - 1}}\), vì thế \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\).

Công thức này còn đích cả với \(x < 0\) và hàm số \(y = \sqrt[n]{x}\) không với đạo hàm bên trên \(x= 0\).

Khi \(n\) chẵn hàm \(y = \sqrt[n]{x}\) có tập luyện xác lập là \([0;+∞)\), không tồn tại đạo hàm tại \(x= 0\) và với đạo hàm bên trên từng \(x > 0\) tính theo công thức:

\[ \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\]

Tóm lại, tao có \( \left( {\sqrt[n]{x}} \right)' =\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) đúng với từng \(x\) thực hiện mang lại nhì vế với nghĩa.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ăn ý tao suy ra: Nếu \(u=u(x)\) là hàm với đạo hàm bên trên khoảng chừng \(J\) và vừa lòng ĐK \(u(x) > 0, ∀x ∈ J\) Khi \(n\) chẵn, \(u\left( x \right) \ne 0,\forall x \in J\) khi \(n\) lẻ thì

\[\forall x \in J,\left( {\sqrt[n]{{u\left( x \right)}}} \right)' = \dfrac{{u'\left( x \right)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}\left( x \right)}}}}\]

6. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên khoảng chừng \((0; +∞)\)

Chú ý: Khi tham khảo hàm số \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) rõ ràng, cần thiết xét hàm số bên trên toàn tập luyện xác lập của chính nó (chứ ko nên chỉ xét bên trên khoảng chừng \((0; +∞)\) như trên).