giá trị nguyên là gì

By Admin 10/11/2023 0
Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng sử dụng nhập lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể nhập lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: giá trị nguyên là gì

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tư Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm rời rạc
  • Lưới
  • Số vẹn toàn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát lác GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng đặc biệt SL(n)
  • Trực phú O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực phú quan trọng đặc biệt SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng đặc biệt SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp phú hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội phổ biến là một số trong những rất có thể được viết lách tuy nhiên không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số vẹn toàn, trong lúc 9,75, 5 1/2 và ko cần là số vẹn toàn.

Tập thích hợp những số vẹn toàn bao hàm 0, những số bất ngờ dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch ngợm hòn đảo quy tắc nằm trong của bọn chúng (là những số vẹn toàn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập thích hợp những số vẹn toàn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn sở hữu viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là 1 tụ tập con cái của tụ tập những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là 1 tụ tập con cái của tụ tập những số thực . Giống như tụ tập những số bất ngờ, là tụ tập vô hạn kiểm điểm được.

Các số vẹn toàn tạo ra trở nên group nhỏ nhất và đai nhỏ nhất chứa chấp những số bất ngờ. Trong lý thuyết số đại số, những số vẹn toàn thỉnh thoảng được xem là số vẹn toàn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số vẹn toàn đại số tổng quát lác rộng lớn. Trên thực tiễn, số vẹn toàn (hữu tỉ) là số vẹn toàn đại số tuy nhiên cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng rất có thể được dùng làm biểu thị những tụ tập không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số vẹn toàn dương, hoặc cho những số vẹn toàn ko âm và cho những số vẹn toàn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số vẹn toàn không giống 0, trong lúc những người dân không giống dùng nó cho những số vẹn toàn ko âm hoặc cho tới {–1, 1}. Dường như, được dùng nhằm biểu thị luyện những số vẹn toàn modulo p[2] (tức là luyện những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc luyện những số vẹn toàn p -adic.[1][6][7]. vậy nên nếu còn muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì cần khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này đó là sai. Có một số trong những bài bác Việc minh chứng quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại cút tình huống không giống ko.Chúng tao cần địa thế căn cứ nhập sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, nhập sách lớp 6 tụ tập số vẹn toàn chỉ mất kí hiệu là Z nên những lúc tất cả chúng ta cho tới đề tuy nhiên sở hữu dùng ký hiệu không giống thông thường như hoặc thì tất cả chúng ta cần khái niệm bên trên đề là hoặc là tụ tập những số bất ngờ không giống ko, nếu như không tồn tại khái niệm bên trên đề thì coi như đề này đó là sai

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số vẹn toàn rất có thể được xem là những điểm rời rốc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số vẹn toàn ko âm được hiển thị vày màu xanh da trời lam và số vẹn toàn âm red color.

Giống giống như những số bất ngờ, là tụ tập đóng góp với những quy tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhì số vẹn toàn ngẫu nhiên là một số trong những vẹn toàn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số vẹn toàn âm (và cần thiết là 0), , không như những số bất ngờ, cũng chính là tụ tập đóng góp với quy tắc trừ.[8]

Các số vẹn toàn tạo ra trở nên một đai đơn vị chức năng, vốn liếng là đai cơ phiên bản nhất, theo đuổi nghĩa sau: so với ngẫu nhiên đai đơn vị chức năng này, đều sở hữu một quy tắc đồng cấu độc nhất kể từ những số vẹn toàn nhập đai này. Thuộc tính phổ quát lác này, rõ ràng là 1 đối tượng người tiêu dùng thuở đầu nhập loại đai, là đặc thù cho tới đai .

ko đóng góp với quy tắc phân chia, vì thế thương của nhì số vẹn toàn (ví dụ: 1 phân chia cho tới 2) rất có thể ko là số vẹn toàn. Mặc mặc dù những số bất ngờ là đóng góp với quy tắc lũy quá, tuy nhiên những số vẹn toàn thì ko (vì sản phẩm rất có thể là 1 phân số khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một số trong những đặc điểm cơ phiên bản của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân so với ngẫu nhiên số vẹn toàn a, b và c:

Tính hóa học của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính phú hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch ngợm đảo: a + (−a) = 0 Số vẹn toàn độc nhất sở hữu thành phần nghịch ngợm hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không sở hữu ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngữ điệu của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác minh rằng là 1 group abel với quy tắc nằm trong. Nó cũng là 1 group cyclic, vì thế từng số vẹn toàn không giống 0 đều rất có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với quy tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — theo đuổi tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được chấp nhận nhân bảo rằng cùng theo với quy tắc nhân là 1 monoid phú hoán. Tuy nhiên, ko cần từng số vẹn toàn đều sở hữu nghịch ngợm hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Tức là với quy tắc nhân ko cần là 1 group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với quy tắc nằm trong và quy tắc nhân là 1 đai phú hoán sở hữu thành phần đơn vị chức năng. Nó là vẹn toàn kiểu mẫu của toàn bộ những đối tượng người tiêu dùng của cấu hình đại số vì vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong các cho tới toàn bộ những độ quý hiếm của phát triển thành, thì cũng chính là đúng trong các ngẫu nhiên đai phú hoán sở hữu đơn vị chức năng này. Một số số vẹn toàn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 nhập một số trong những đai chắc chắn.

Việc thiếu thốn những ước số của 0 trong số số vẹn toàn (thuộc tính ở đầu cuối nhập bảng) Tức là đai phú hoán là 1 miền vẹn toàn.

Việc thiếu thốn những quy tắc nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko cần là đóng góp với quy tắc phân chia, Tức là không phải là 1 ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số vẹn toàn bên dưới dạng một đai con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình thiết kế những số hữu tỉ kể từ những số vẹn toàn rất có thể được học theo sẽ tạo trở nên ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền vẹn toàn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), đai số vẹn toàn của chính nó rất có thể được trích xuất, bao hàm như thể đai con cái của chính nó.

Mặc mặc dù quy tắc phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , quy tắc phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là quy tắc phân chia Euclid, và sở hữu đặc điểm cần thiết sau: cho tới nhì số vẹn toàn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số vẹn toàn q và r độc nhất sao cho tới a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số vẹn toàn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của quy tắc phân chia a cho tới b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số công cộng lớn số 1 hoạt động và sinh hoạt với cùng một chuỗi những quy tắc phân chia Euclid.

Một đợt tiếp nhữa, nhập ngữ điệu của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là 1 đai Euclid. Như vậy ý niệm rằng là 1 đai ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số vẹn toàn dương nào thì cũng rất có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số yếu tố theo đuổi một cơ hội cơ phiên bản độc nhất.[10] Đây là tấp tểnh lý cơ phiên bản của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là 1 tụ tập sở hữu trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số vẹn toàn là dương nế như đó to hơn 0 và âm nế như đó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số vẹn toàn tương mến với những quy tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tao Kết luận rằng cùng theo với trật tự bên trên là 1 đai sở hữu trật tự.

Các số vẹn toàn là group abel sở hữu trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất sở hữu những thành phần dương được bố trí theo đuổi trật tự hợp lí.[11] Như vậy tương tự với tuyên tía rằng ngẫu nhiên đai Reviews Noether nào thì cũng là 1 ngôi trường — hoặc một đai định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to tát 5
Các điểm red color thể hiện tại những cặp số bất ngờ sở hữu trật tự. Các điểm red color được link là những lớp tương tự đại diện thay mặt cho những số vẹn toàn màu xanh da trời lam ở cuối dòng sản phẩm.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số vẹn toàn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan tiền là những số bất ngờ (dương), số 0 và những số đối của những số bất ngờ. Tuy nhiên, loại khái niệm này dẫn theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi quy tắc toán số học tập rất cần được xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc minh chứng rằng những số vẹn toàn tuân theo đuổi những tấp tểnh luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do cơ, nhập toán học tập lý thuyết tụ tập tân tiến, một cấu hình trừu tượng hơn[13] được chấp nhận người tao xác lập những quy tắc toán số học tập tuy nhiên không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do cơ, những số vẹn toàn rất có thể được thiết kế đầu tiên giống như những lớp tương tự của những cặp số bất ngờ sở hữu trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của sản phẩm của quy tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một số trong những, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: công thức tính đường chéo hình vuông

chỉ khi

Phép nằm trong và quy tắc nhân những số vẹn toàn rất có thể được khái niệm theo đuổi những quy tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự sở hữu (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc quy tắc nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc cộng) của một số trong những vẹn toàn đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do cơ quy tắc trừ rất có thể được khái niệm là quy tắc cùng theo với nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc cộng:

Thứ tự động chi chuẩn chỉnh bên trên những số vẹn toàn được thể hiện với bất đẳng thức:

khi và chỉ khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy theo việc lựa lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự sở hữu một member độc nhất sở hữu dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhì và một lúc). Số bất ngờ n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số bất ngờ được nhúng nhập những số vẹn toàn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và cho tới lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do cơ, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số bất ngờ được xác lập với những số vẹn toàn ứng (sử dụng quy tắc nhúng được rằng ở trên), thì quy ước này sẽ không dẫn đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này bình phục trình diễn không xa lạ của những số vẹn toàn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm thiết kế những số vẹn toàn được dùng vày những máy thám thính tấp tểnh lý tự động hóa và những khí cụ viết lách lại thuật ngữ. Số vẹn toàn được trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được thiết kế bằng phương pháp dùng một vài ba quy tắc toán cơ phiên bản (ví dụ: zero, succ, pred) và, rất có thể, dùng những số bất ngờ, được giả thiết là đang được thiết kế (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội thiết kế những số vẹn toàn sở hữu vệt.[16] Các cấu hình này không giống nhau theo đuổi một số trong những cách: con số những quy tắc toán cơ phiên bản được dùng cho tới cấu hình, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những quy tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng tanh mặt mày của những số bất ngờ thực hiện đối số của một số trong những quy tắc toán này và thực tiễn là những quy tắc toán này còn có cần là hàm tạo ra tự tại hay là không, tức là nằm trong một số trong những vẹn toàn rất có thể được trình diễn chỉ vày một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật thiết kế những số vẹn toàn được trình diễn phía trên nhập phần này ứng với tình huống rõ ràng nhập cơ sở hữu một cặp quy tắc toán cơ phiên bản duy nhất nhận đối số là nhì số bất ngờ và và trả về một số trong những vẹn toàn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì thế số vẹn toàn 0 rất có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật thiết kế này được dùng vày trợ lý minh chứng Isabelle; tuy vậy, nhiều khí cụ không giống dùng những nghệ thuật thiết kế thay cho thế, xứng đáng lưu ý là những nghệ thuật dựa vào những cấu hình tự tại, giản dị rộng lớn và rất có thể được triển khai hiệu suất cao rộng lớn nhập PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số vẹn toàn thông thường là 1 loại tài liệu vẹn toàn thủy trong số ngữ điệu PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số vẹn toàn chỉ rất có thể đại diện thay mặt cho 1 tụ tập con cái của toàn bộ những số vẹn toàn, vì thế PC thực tiễn sở hữu dung tích hữu hạn. Dường như, nhập trình diễn quy tắc bù nhì thông dụng, khái niệm cố hữu của vệt phân biệt thân ái "âm" và "không âm" thay cho "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn rằng PC rất có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số vẹn toàn sở hữu thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số vẹn toàn có tính nhiều năm cố định và thắt chặt (hoặc tụ tập con) được ký hiệu là int hoặc Integer nhập một số trong những ngữ điệu xây dựng (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các trình diễn số vẹn toàn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, rất có thể tàng trữ ngẫu nhiên số vẹn toàn này một vừa hai phải với bộ nhớ lưu trữ của dòng sản phẩm tính. Các loại tài liệu số vẹn toàn không giống được lên kế hoạch với độ dài rộng cố định và thắt chặt, thông thường là một số trong những bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một số trong những chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tụ tập những số vẹn toàn vày ℵ0 (aleph-null). Điều được đơn giản minh chứng bằng sự việc thiết kế một tuy vậy ánh, cơ là 1 hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tao kiểm tra hàm sau:

Xem thêm: cách sử dụng đồng hồ đo điện

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn nhập vậy thì từng và từng thành phần của sở hữu một và duy nhất thành phần ứng của và theo đuổi khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhì tụ tập này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số vẹn toàn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày trăng tròn mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to tát Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Vi xử lý Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide to tát Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn phiên bản 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem trăng tròn.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng bốn năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to tát Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ phiên bản gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số vẹn toàn bên trên MathWorld.