Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Cơ sở của cách thức thay đổi vươn lên là số là công thức sau: $\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( u \right)du}$ (1)
trong ê $u=u\left( x \right)$ là hàm số với đạo hàm liên tiếp bên trên $K$ , hàm số $y = f\left( u \right)$ liên tục và sao mang lại hàm số ăn ý $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ xác lập trên $K$ ; $a$ và $b$ là nhì số thuộc $K$ .
Từ công thức (1), tao với nhì cơ hội thay đổi vươn lên là số sau:
Cách 1 (Phương pháp thay đổi vươn lên là loại II)
Giả sử tao cần thiết tính $\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}$ .
Nếu tao viết lách được $g\left(x\right)$ dưới dạng $f\left[u\left(x\right)\right]u'\left(x\right)$ , thì theo gót (1) tao có

Bạn đang xem: đổi cận

$\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( u \right)du}$ .
Vậy vấn đề qui về tính chất $\int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( u \right)du}$ , tích phân này tiếp tục đơn giản và giản dị rộng lớn.
Cách 2 (Phương pháp thay đổi vươn lên là loại I)
Giả sử cần thiết tính $\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)dx}$ .
Đặt $x=x\left(t\right)$ , $\left(t \in K \right)$ và $a, b \in K$ thỏa mãn $\alpha=x\left(a\right),\beta=x\left(b\right)$ , thì (1) mang lại ta $\int\limits_{\alpha} ^{\beta}{f\left(x\right)dx}=\int\limits_a^b{f\left[{x\left(t\right)}\right]x'\left(t\right)dt}$

Bài toán qui về tính chất $\int\limits_a^b {g\left( t \right)dt}$ , với $g\left( t \right) = f\left[ {x\left( t \right)} \right]x'\left( t \right)$ . Trong nhiều tình huống, việc tính tích phân này đơn giản và giản dị rộng lớn.
Một số ví dụ về cách thức thay đổi vươn lên là loại II
Ví dụ 1. Tính $I_1=\int\limits_0^\frac{22}{3}{\sqrt[3]{3x+5}dx}$ .
Giải.
Đặt $u=3x+5\Rightarrow du=3dx$
Đổi cận $x = 0 \Rightarrow u = 5;x = \frac{{22}}{3} \Rightarrow u = 27$ . Vậy ${I_1}=\dfrac{1}{3}\int\limits_5^{27}{\sqrt[3]{u}du}=\left.{\dfrac{1}{3}\frac{{\sqrt[3]{{{u^4}}}}}{{\frac{4}{3}}}}\right|_5^{27}=\dfrac{1}{4}\left({27\sqrt[3]{{27}}-5\sqrt[3]{5}}\right)=\dfrac{1}{4}\left({81-5\sqrt[3]{5}}\right)$

Ví dụ 2. Tính $I_2=\int\limits_0^1 {{x^3}{{\left({1 + {x^4}}\right)}^3}dx}$
Giải
Đặt $u=1+x^4\Rightarrow du=4x^3dx$ .
Đổi cận $x=0\Rightarrow u=1;x=1\Rightarrow u=2$ .
Vậy ${I_2}=\dfrac{1}{4}\int\limits_1^2{{u^3}du}=\left.{\dfrac{1}{4}\dfrac{{{u^4}}}{4}}\right|_1^2=\dfrac{1}{{16}}\left({{2^4}-1}\right)=\dfrac{{15}}{{16}}$ .

Xem thêm: tìm tập nghiệm của bất phương trình

Ví dụ 3. Tính $I_3=\int\limits_{0}^{1}x^2e^{3x^3}dx$

Giải
Đặt $u=3x^3\Rightarrow du=9x^2dx$
Đổi cận $x=0\Rightarrow u=0;x=1\Rightarrow u=3$
Vậy $I_3=\dfrac{1}{9}\int\limits_{0}^{3}e^udu=\dfrac{1}{9}e^u\Big|_{0}^{3}=\dfrac{1}{9}(e^3-1)$
Ví dụ 4. Tính $I_4=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{1+\cos x}dx$
Giải.
Đặt $u=1+\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx$
Đổi cận $x=0\Rightarrow u=2;x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=1$
Vậy $I_4=-\int\limits_{2}^{1}\dfrac{du}{u}=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{du}{u}=\ln|u|\Big|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2$ .
Nhận xét: Các tích phân tính được vì như thế cách thức thay đổi vươn lên là loại II được coi giống như các tích phân tiếp tục biết $d(u(x))$ là gì, ví dụ điển hình nhập Ví dụ 1, $d(u(x))=dx$ ; nhập Ví dụ 2, $d(u(x))=x^3dx$ ; nhập Ví dụ 4, $d(u(x))=\sin xdx$ . Nói cách thứ hai, nhập biểu thức bên dưới dấu vết phân nếu như tao lấy vi phân của một quá số thì được quá số còn sót lại (sai không giống một hằng số), ví dụ điển hình nhập Ví dụ 4, $d(1+\cos{x})=-\sin{x}dx$ .
Một số ví dụ về cách thức thay đổi vươn lên là loại I
Ví dụ 5. Tính $I_5=\int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}dx, (a>0)$ .
Giải.
Đặt $x=a\sin t, t\in \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$
$\Rightarrow dx=a\cos tdt$
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0;x=\dfrac{a}{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{6}$
Vậy $I_5=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{a\cos tdt}{\sqrt{a^2\cos^2t}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{a\cos tdt}{a|\cos t|}$
$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}}dt=\dfrac{\pi}{6}$ .
Ví dụ 6. Tính $I_6=\int\limits_{0}^{a}\dfrac{dx}{a^2+x^2}, (a>0)$
Giải.
Đặt $x=a\tan t, t\in \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$
$\Rightarrow dx=\dfrac{a}{\cos^2t}dt$
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0;x=a\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}$
Vậy $I_6=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{a}{\cos^2t}dt}{a^2+a^2\tan^2t}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\dfrac{a}{\cos^2t}dt}{a^2(1+\tan^2t)}=\dfrac{1}{a}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}dt=\dfrac{\pi}{4a}$
Bài tập dượt đề nghị
Bài 1. Tính $I=\int\limits_{1}^{2}x(1-x)^5dx$
ĐS: $I=\dfrac{-13}{42}$
Bài 2. Tính $I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{3}}\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}}dx$
ĐS: $I=\dfrac{7\sqrt[3]{4}}{15}-\dfrac{2}{5}$
Bài 3. Tính $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}x^5\sqrt{1+x^2}dx$
ĐS: $I=\dfrac{848}{105}$
Bài 4. Tính $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin 2xdx}{4-\cos^2x}$
ĐS: $I=\ln\dfrac{4}{3}$
Bài 5. Tính $I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^2+x+1}$
ĐS: $I=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}$ .
Nguồn: mathblog.org