Diện tích

Three shapes on a square grid — Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông vắn đơn vị

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai phía hoặc lamina phẳng phiu, vô mặt mũi phẳng phiu. Diện tích mặt phẳng là tương tự động của diện tích S bên trên mặt phẳng hai phía của một vật thể tía chiều. Diện tích hoàn toàn có thể được hiểu là lượng vật tư có tính dày chắc chắn tiếp tục quan trọng sẽ tạo loại mang lại quy mô hình dạng hoặc lượng đấm quan trọng nhằm phủ lên mặt phẳng bởi vì một tấm đấm.^[1] Nó là tương tự động về mặt mũi hai phía so với chiều lâu năm của đàng cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm tía chiều).

Bạn đang xem: diện tích của

Diện tích của hình hoàn toàn có thể được đo bằng phương pháp đối chiếu hình với những hình vuông vắn đem độ cao thấp cố định và thắt chặt.^[2] Trong Hệ thống đơn vị chức năng quốc tế (SI), đơn vị chức năng diện tích S tiêu xài chuẩn chỉnh là mét vuông (viết là m²), là diện tích của một hình vuông vắn đem cạnh lâu năm một mét.^[3] Một hình đem diện tích S tía mét vuông sẽ sở hữu được nằm trong diện tích S với tía hình vuông vắn vì vậy. Trong toán học tập, hình vuông vắn đơn vị chức năng được xác lập là đem diện tích S bởi vì một và diện tích của ngẫu nhiên hình dạng hoặc mặt phẳng nào là không giống là một trong những thực ko loại nguyên vẹn.

Có một trong những công thức có tiếng cho những diện tích S đem hình dạng giản dị như hình tam giác, hình chữ nhật và hình tròn trụ. Sử dụng những công thức này, diện tích của ngẫu nhiên nhiều giác nào là đều hoàn toàn có thể được xem toán bằng phương pháp phân chia nhiều giác trở thành những hình tam giác.^[4] Đối với những hình đem ranh giới cong, tích phân thông thường được dùng làm tính diện tích S. Thật vậy, yếu tố xác lập diện tích S những hình phẳng phiu là 1 trong những động lực chủ yếu cho việc cải tiến và phát triển lịch sử dân tộc của tích phân.^[5]

Đối với cùng một hình dạng rắn như hình cầu, hình nón hoặc hình trụ, diện tích S mặt phẳng ranh giới của chính nó được gọi là diện tích S mặt phẳng.^[1]^[6]^[7] Các công thức cho những diện tích S mặt phẳng của những hình dạng giản dị đã và đang được người Hy Lạp cổ truyền đo lường, tuy nhiên đo lường diện tích S mặt phẳng của một hình dạng phức tạp rộng lớn thông thường yên cầu tích phân nhiều biến chuyển.

Diện tích đóng góp một tầm quan trọng cần thiết vô toán học tập tân tiến. Ngoài vai trò rõ nét của chính nó vô hình học tập và đo lường, diện tích S đem tương quan cho tới khái niệm những nguyên tố ra quyết định vô đại số tuyến tính, và là 1 trong những đặc thù cơ phiên bản của những mặt phẳng vô hình học tập vi phân. Trong phân tách, diện tích của một giao hội con cái của mặt mũi phẳng phiu được xác lập bằng phương pháp dùng thước đo Lebesgue,^[8] tuy vậy ko nên từng giao hội con cái đều hoàn toàn có thể đo được.^[9] Nói công cộng, diện tích S vô toán học tập cung cấp cao hơn nữa được xem là một tình huống quan trọng về thể tích cho những vùng đem hai phía.^[1]

Diện tích hoàn toàn có thể được xác lập trải qua việc dùng những định đề, xác lập nó là 1 trong những hàm của một giao hội những hình mặt mũi phẳng phiu chắc chắn chiếu cho tới giao hội những số thực. Nó hoàn toàn có thể được minh chứng rằng một hàm vì vậy là tồn bên trên.

Định nghĩa hình thức[sửa | sửa mã nguồn]

Một cơ hội tiếp cận nhằm xác lập chân thành và ý nghĩa của "diện tích" là trải qua những định đề. "Diện tích" hoàn toàn có thể được khái niệm là 1 trong những hàm a kể từ giao hội M bao gồm những hình phẳng phiu quan trọng (gọi là giao hội hoàn toàn có thể đo được) cho tới tập dượt những số thực, thỏa mãn nhu cầu những đặc thù sau:

Với từng S nằm trong M thì a (S) ≥ 0.
Nếu S và T nằm trong M thì S ∪ T và S ∩ T, và a (S ∪ T) = a (S) + a (T) - a (S ∩ T).
Nếu S và T nằm trong M với S ⊆ T thì T - S nằm trong M và a (T - S) = a (T) - a (S).
Nếu một giao hội S nằm trong M và S như nhau với T thì T cũng nằm trong M và a (S) = a (T.
Mọi hình chữ nhật R đều nằm trong M. Nếu hình chữ nhật đem chiều lâu năm h và chiều rộng lớn k thì a (R) = hk.
Gọi Q là 1 trong những giao hội nằm trong lòng nhì vùng bước S và T. Vùng bước được tạo hình kể từ sự phối hợp hữu hạn của những hình chữ nhật ngay lập tức kề phía trên một hạ tầng công cộng, tức là S ⊆ Q ⊆ T. Nếu tồn bên trên một trong những có một không hai c sao mang lại a (S) ≤ c ≤ a (T) so với toàn bộ những vùng bước S và T vì vậy, thì a (Q) = c.

Có thể minh chứng rằng một hàm diện tích S vì vậy thực sự tồn bên trên.^[10]

Đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

A square made of PVC pipe on grass — Một mét vuông dù tiêu xài chuẩn chỉnh thực hiện bởi vì ống PVC.

Mọi đơn vị chức năng phỏng lâu năm đều phải sở hữu một đơn vị chức năng diện tích S ứng là diện tích S hình vuông vắn có tính lâu năm cạnh bởi vì đơn vị chức năng phỏng lâu năm vẫn mang lại. Do tê liệt diện tích S hoàn toàn có thể được đo bởi vì mét vuông (m^2), vuông centimet (cm^2), milimét vuông (mm^2), kilômét vuông (km²),feet vuông (ft ^2), yard vuông (yd ^2), dặm vuông (mi²), v.v.^[11] Về mặt mũi đại số, những đơn vị chức năng này hoàn toàn có thể được xem là bình phương của những đơn vị chức năng phỏng lâu năm ứng.

Đơn vị diện tích S SI là mét vuông, được xem là một đơn vị chức năng dẫn xuất SI.^[3]

Chuyển đổi[sửa | sửa mã nguồn]

Tính diện tích của một hình vuông vắn đem chiều lâu năm và chiều rộng lớn là 1 trong mét tiếp tục là:

1 mét × 1 mét = 1 m²

và bởi vậy, một hình chữ nhật đem những cạnh không giống nhau (giả sử chiều lâu năm 3m và chiều rộng lớn 2 mét) sẽ sở hữu được diện tích S tính bởi vì đơn vị chức năng hình vuông vắn hoàn toàn có thể được xem như sau:

3 mét × 2 mét = 6 m². Như vậy tương tự với 6 triệu milimet vuông. Các quy đổi hữu ích không giống là:

1 km vuông = một triệu mét vuông
1 mét vuông = 10.000 centimet vuông = 1.000.000 mm vuông
1 cm vuông = 100 milimet vuông.

Đơn vị ko nên hệ mét[sửa | sửa mã nguồn]

Trong đơn vị chức năng ko nằm trong hệ mét, việc quy đổi thân thích nhì đơn vị chức năng vuông là bình phương của việc quy đổi Một trong những đơn vị chức năng chiều lâu năm ứng.

1 foot = 12 inch,

mối mối quan hệ thân thích feet vuông và inch vuông là

1 foot vuông = 144 inch vuông,

trong tê liệt 144 = 12² = 12 × 12. Tương tự:

1 yard vuông = 9 feet vuông
1 dặm vuông = 3.097.600 yard vuông = 27.878.400 feet vuông

Ngoài rời khỏi, những nguyên tố quy đổi bao gồm:

1 inch vuông = 6.4516 cm vuông
1 foot vuông = 0.09290304 mét vuông
1 yard vuông = 0.83612736 mét vuông
1 dặm vuông = 2.589988110336 km vuông

Các đơn vị chức năng không giống bao hàm những đơn vị chức năng mang tính chất lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Có một trong những đơn vị chức năng thịnh hành không giống mang lại diện tích S. A là đơn vị chức năng diện tích S lúc đầu vô hệ mét, với:

1 a = 100 mét vuông

Mặc cho dù vẫn không thể dùng, hecta vẫn thông thường được dùng nhằm đo đất:^[12]

1 hecta = 100 a = 10.000 mét vuông = 0,01 ki lô mét vuông

Mẫu Anh cũng thông thường được dùng nhằm đo diện tích S đất

1 khuôn mẫu Anh = 4,840 yard vuông = 43,560 feet vuông.

Một khuôn mẫu Anh là khoảng chừng 40% của một hecta.

Trên quy tế bào nguyên vẹn tử, diện tích S được đo bởi vì đơn vị chức năng barn:^[13]

1 barn = 10 ⁻²⁸ mét vuông.

Barn được dùng thịnh hành trong công việc tế bào miêu tả vùng tương tác mặt phẳng cắt ngang vô cơ vật lý phân tử nhân.^[14]

Ở nén Độ,

20 dhurki = 1 dhur
20 dhur = 1 khatha
20 khata = 1 bigha
32 khata = 1 khuôn mẫu Anh

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Vào thế kỷ loại 5 trước Công nguyên vẹn, Hippocrates xứ Chios là kẻ trước tiên cho là diện tích của một chiếc đĩa (vùng được xung quanh bởi vì một vòng tròn) tỷ trọng với bình phương 2 lần bán kính của chính nó, như 1 phần của việc cầu phương của ông,^[15] tuy nhiên ko xác lập được hằng số tỷ trọng. Eudoxus của Cnidus, cũng vô thế kỷ loại 5 trước Công nguyên vẹn, cũng phân phát xuất hiện rằng diện tích của một chiếc đĩa tròn trặn tỷ trọng thuận với bình phương nửa đường kính của chính nó.^[16]

Sau tê liệt, Quyển I của Cơ sở của Euclid kể tới sự đều nhau về diện tích S Một trong những hình hai phía. Nhà toán học tập Archimedes dùng những dụng cụ của Euclid nhằm minh chứng rằng diện tích S bên phía trong một vòng tròn trặn là tương tự với của một tam giác vuông đem lòng là chiều lâu năm của chu vi của vòng tròn trặn và đem độ cao tương tự với nửa đường kính của vòng tròn trặn, vô cuốn sách của ông Đo một hình tròn. (Chu vi là 2 πr, và diện tích của một tam giác bởi vì 50% lòng nhân với độ cao, mang đến diện tích S πr ² mang lại hình tròn trụ.) Archimedes vẫn tính ngay sát giá chuẩn trị của π (và bởi vậy là diện tích của một hình tròn trụ nửa đường kính đơn vị) bởi vì cách thức nhân song của tôi, vô tê liệt ông nội tiếp một tam giác đều vô một vòng tròn trặn và ghi nhận diện tích của nó, tiếp sau đó nhân song số cạnh sẽ tạo rời khỏi một hình lục giác đều., tiếp sau đó liên tiếp nhân song số cạnh Khi diện tích của nhiều giác càng ngày càng ngay sát với diện tích của hình tròn trụ (và triển khai tương tự động với khá nhiều giác nước ngoài tiếp).

Nhà khoa học tập người Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert năm 1761 vẫn minh chứng rằng π, tỷ số thân thích diện tích S hình tròn trụ với nửa đường kính bình phương của chính nó, là số vô tỉ, tức thị nó ko bởi vì thương số của nhì số nguyên vẹn ngẫu nhiên.^[17] Năm 1794, mái ấm toán học tập người Pháp Adrien-Marie Legendre vẫn minh chứng rằng π² là vô tỉ; điều này cũng minh chứng rằng π là vô tỉ.^[18] Năm 1882, mái ấm toán học tập người Đức Ferdinand von Lindemann vẫn minh chứng rằng π là số siêu việt (không nên là nghiệm của ngẫu nhiên phương trình nhiều thức nào là với thông số hữu tỉ), minh chứng này xác nhận một phỏng đoán của tất cả Legendre và Euler.^[17] ^{:p. 196}

Diện tích tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: fe(oh)2

Heron (hay Hero) của Alexandria vẫn lần rời khỏi cái được gọi là công thức Heron mang lại diện tích S tam giác tính theo đòi những cạnh của chính nó, và một phép tắc minh chứng đem vô cuốn sách của ông, Metrica, được viết lách vào tầm khoảng năm 60 công nhân. Có chủ kiến nhận định rằng Archimedes vẫn biết công thức rộng lớn nhì thế kỷ trước tê liệt,^[19] và vì thế Metrica là giao hội những kỹ năng và kiến thức toán học tập đã có sẵn vô toàn cầu cổ truyền, nên hoàn toàn có thể công thức đem trước tham lam chiếu được thể hiện vô công trình xây dựng tê liệt.^[20]

Năm 499, Aryabhata, một mái ấm toán học tập - thiên văn học tập vĩ đại của thời đại truyền thống của toán học tập nén Độ và thiên văn học tập nén Độ, vẫn biểu thị diện tích của một tam giác bởi vì 50% lòng nhân với độ cao vô Aryabhatiya (phần 2.6).

Một công thức tương tự với Heron đã và đang được người Trung Quốc lần rời khỏi song lập với những người Hy Lạp. Nó được xuất phiên bản vô năm 1247 vô Shushu Jiuzhang ("Cửu chương toán thuật"), kiệt tác của Qin Jiushao.

Diện tích tứ giác[sửa | sửa mã nguồn]

Trong thế kỷ loại 7, Brahmagupta vẫn cải tiến và phát triển một công thức, giờ đây được gọi là công thức Brahmagupta, mang lại diện tích của một tứ giác nội tiếp (một tứ giác đem những đỉnh phía trên một vòng tròn) theo đòi những cạnh của chính nó. Năm 1842, những mái ấm toán học tập người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt vẫn song lập cùng nhau, nằm trong lần rời khỏi một công thức, được gọi là công thức Bretschneider, mang lại diện tích của ngẫu nhiên hình tứ giác nào là.

Diện tích nhiều giác[sửa | sửa mã nguồn]

Sự cải tiến và phát triển của tọa phỏng Descartes bởi René Descartes xây cất vô thế kỷ 17 được chấp nhận cải tiến và phát triển công thức mang lại diện tích của ngẫu nhiên nhiều giác nào là nằm tại đỉnh vẫn biết của Gauss vô thế kỷ 19.

Diện tích được xác lập bởi vì phép tắc tính tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Sự cải tiến và phát triển của phép tắc tính tích phân vô thời điểm cuối thế kỷ 17 vẫn hỗ trợ những dụng cụ tiếp sau đó hoàn toàn có thể được dùng nhằm đo lường những diện tích S phức tạp rộng lớn, ví dụ như diện tích S hình elip và diện tích S mặt phẳng của những vật thể tía chiều cong không giống nhau.

Công thức diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Đa giác[sửa | sửa mã nguồn]

Đối với cùng một nhiều giác ko tự động tách (đa giác đơn), tọa phỏng Descartes (i = 0, 1,..., n -1) của n đỉnh vẫn biết, diện tích S được mang lại bởi vì công thức của những người đóng góp móng:^[21]

trong tê liệt Khi i = n -1, thì i +1 được biểu thị bên dưới dạng môđun n và bởi vậy quy về 0.

Hình chữ nhật[sửa | sửa mã nguồn]

A rectangle with length and width labelled — Diện tích của hình chữ nhật này là lw.

Công thức diện tích S cơ phiên bản nhất là công thức diện tích S hình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật đem chiều lâu năm l và chiều rộng lớn w, công thức của diện tích S là:^[2]^[22]

A = lw.

Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bởi vì chiều lâu năm nhân với chiều rộng lớn. Trong tình huống quan trọng, vì thế l = w vô tình huống hình vuông vắn, diện tích của hình vuông vắn có tính lâu năm cạnh s được mang lại bởi vì công thức:^[1]^[2]^[23]

A = s²

Công thức mang lại diện tích S hình chữ nhật thẳng dựa vào những đặc thù cơ phiên bản của diện tích S, và thỉnh thoảng được xem là một khái niệm hoặc định đề. Mặt không giống, nếu như hình học tập được cải tiến và phát triển trước số học tập, công thức này hoàn toàn có thể được dùng nhằm khái niệm phép tắc nhân những số thực.

Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Hầu không còn những công thức giản dị không giống mang lại diện tích S đều tuân theo đòi cách thức tách hình. Như vậy bao hàm việc tách một tạo hình từng hình nhỏ, và việc tính diện tích S hình này sẽ là sự việc sử dụng phép tắc với những diện tích S những hình con cái.

Sơ loại đã cho chúng ta biết cơ hội một hình bình hành hoàn toàn có thể được bố trí lại trở thành hình chữ nhật.

Ví dụ, ngẫu nhiên hình bình hành nào thì cũng hoàn toàn có thể được phân chia nhỏ trở thành hình thang và tam giác vuông, như thể hiện nay vô hình phía bên trái. Nếu tam giác được dịch rời sang trọng phía mặt mũi tê liệt của hình thang, thì hình nhận được là 1 trong những hình chữ nhật. Theo tê liệt diện tích của hình bình hành bởi vì diện tích của hình chữ nhật đó:^[2]

A = bh (hình bình hành).

Tuy nhiên, và một hình bình hành cũng hoàn toàn có thể được thuyên giảm một đàng chéo cánh trở thành nhì tam giác tương đẳng, như vô hình ở bên phải. Như vậy diện tích của từng tam giác bởi vì 50% diện tích của hình bình hành:^[2]

(Tam giác).

Các phép tắc minh chứng tương tự động hoàn toàn có thể được dùng nhằm lần công thức diện tích S mang lại hình thang ^[24] cũng tựa như các nhiều giác phức tạp rộng lớn.^[25]

Diện tích những hình cong[sửa | sửa mã nguồn]

Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to tướng size a parallelogram — Một hình tròn trụ hoàn toàn có thể được phân thành những hình quạt tuy nhiên bố trí lại sẽ tạo trở thành một xấp xỉ hình bình hành.

Công thức tính diện tích S hình tròn trụ (được gọi đúng ra là diện tích S được bao bởi vì hình tròn trụ hoặc diện tích S đĩa) dựa vào một cách thức tương tự động. Cho một vòng tròn trặn nửa đường kính r nó hoàn toàn có thể phân vùng những vòng tròn trặn vô những nghành, như thể hiện nay vô hình ở bên phải. Mỗi cung đem hình trạng tam giác tầm và những cung hoàn toàn có thể được bố trí lại sẽ tạo trở thành một hình bình hành tầm. Chiều cao của hình bình hành này là r, và chiều rộng lớn bởi vì nửa chu vi của hình tròn trụ, hoặc πr. Như vậy, tổng diện tích của hình tròn trụ là πr²:^[2]

A = πr² (hình tròn).

Mặc cho dù việc phân tích hình tròn trụ được dùng vô công thức này đơn giản tầm, tuy nhiên sai số càng ngày càng nhỏ rộng lớn Khi vòng tròn trặn được phân phân thành ngày rộng lớn cung. Giới hạn diện tích của những hình bình hành ngay sát thực sự πr², là diện tích của hình tròn trụ.^[26]

Lập luận này thực sự là 1 trong những phần mềm giản dị của những ý tưởng phát minh của phép tắc tính vi tích phân. Trong thời cổ truyền, cách thức hết sạch được dùng một cơ hội tương tự động nhằm lần diện tích S hình tròn trụ, và cách thức này thời nay được thừa nhận là chi phí thân thích của phép tắc tính tích phân. Sử dụng những cách thức tân tiến, diện tích S hình tròn trụ hoàn toàn có thể được xem bằng phương pháp dùng một tích phân xác định:

Hình elip[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức mang lại diện tích S được bao bởi vì một hình elip đem tương quan cho tới công thức của một hình tròn; so với một hình elip với những phân phối trục chủ yếu và phân phối trục phụ x và y, với công thức là:^[2]

Diện tích bề mặt[sửa | sửa mã nguồn]

Hầu không còn những công thức cơ phiên bản mang lại diện tích S mặt phẳng hoàn toàn có thể nhận được bằng phương pháp tách những mặt phẳng và thực hiện phẳng phiu bọn chúng. Ví dụ, nếu như mặt phẳng mặt mũi của một hình trụ (hoặc ngẫu nhiên hình lăng trụ nào) được thuyên giảm theo hướng dọc, mặt phẳng tê liệt hoàn toàn có thể được tạo phẳng phiu trở thành hình chữ nhật. Tương tự động, nếu như một vết tách được triển khai dọc từ mặt mũi mặt của hình nón, mặt phẳng mặt mũi hoàn toàn có thể được tạo phẳng phiu trở thành 1 phần của hình tròn trụ và diện tích S thành quả hoàn toàn có thể được xem rời khỏi.

Công thức mang lại diện tích S mặt phẳng của một hình cầu khó khăn lần hơn: chính vì một hình cầu có tính cong Gauss không giống 0, nó ko thể bị cán dẹt rời khỏi. Công thức về diện tích S mặt phẳng của một hình cầu phiên trước tiên được Archimedes nhận được vô kiệt tác Về hình cầu và hình trụ. Công thức là:^[6]

Xem thêm: bài văn về quê hương

A = 4πr² (hình cầu), với r là nửa đường kính của hình cầu. Cũng tương tự công thức về diện tích S hình tròn trụ, ngẫu nhiên tư duy nào là của công thức này đều dùng những cách thức tương tự động như tích phân.

Công thức chung[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích của những hình 2 chiều[sửa | sửa mã nguồn]

{\displaystyle A={\tfrac {b\cdot h}{2}}} — Diện tích tam giác

Diện tích vô giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

A diagram showing the area between two functions — Diện tích thân thích nhì loại thị hoàn toàn có thể được review bằng phương pháp tính hiệu thân thích tích phân của nhì hàm

Các công thức thông dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức diện tích S hoặc dùng:
Hình	Công thức	Biến số	Cách đọc
Hình chữ nhật		: Chiều lâu năm, : Chiều rộng lớn.	Diện tích bởi vì tích chiều lâu năm 2 cạnh.
Hình vuông		: Chiều lâu năm cạnh hình vuông vắn.	Diện tích bởi vì bình phương chiều lâu năm 1 cạnh.
Hình bình hành		: Chiều lâu năm 1 cạnh, : độ cao ứng với a.	Diện tích bởi vì 1 cạnh nhân với độ cao ứng với cạnh tê liệt.
Hình thoi		: Chiều lâu năm 2 đàng chéo cánh.	Diện tích bởi vì 1 nửa tích phỏng lâu năm 2 đàng chéo cánh.
Tam giác		: cạnh lòng, : độ cao.	Diện tích bởi vì 1 nửa tích chiều lâu năm 1 cạnh với đàng cao ứng với nó.
Hình tròn		: nửa đường kính.	Diện tích thông qua số pi nhân với bình phương phân phối kính
Hình e-líp		và phỏng lâu năm nửa trục thực và nửa trục ảo.
Mặt cầu	, hoặc	: nửa đường kính, : 2 lần bán kính hình cầu.	Diện tích thông qua số Pi nhân với bình phương chiều lâu năm 2 lần bán kính.
Hình thang		và : những cạnh lòng, : độ cao.	Diện tích bởi vì khoảng nằm trong 2 lòng nhân với độ cao.
Hình trụ tròn		: nửa đường kính, : độ cao.
Diện tích xung xung quanh của hình trụ		: nửa đường kính, : chiều cao
Mặt nón		: nửa đường kính, phỏng lâu năm đàng sinh (slant height).
Diện tích xung xung quanh của hình nón		: nửa đường kính, phỏng lâu năm đàng sinh (slant height).
Hình quạt		: nửa đường kính, số đo góc ở tâm,l là phỏng lâu năm cung.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Độ dài
Thể tích

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Weisstein, Eric W. “Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc tàng trữ ngày 5 mon 5 năm 2012. Truy cập ngày 3 mon 7 năm 2012.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ “Area Formulas”. Math.com. Bản gốc tàng trữ ngày 2 mon 7 năm 2012. Truy cập ngày 2 mon 7 năm 2012.
^ ^a ^b “Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)”. Bureau International des Poids et Mesures. Bản gốc tàng trữ ngày 28 mon 7 năm 2012. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
^ Mark de Berg; Marc cầu xin Kreveld; Mark Overmars; Otfried Schwarzkopf (2000). “Chapter 3: Polygon Triangulation”. Computational Geometry (ấn phiên bản 2). Springer-Verlag. tr. 45–61. ISBN 978-3-540-65620-3.
^ Boyer, Carl B. (1959). A History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover. ISBN 978-0-486-60509-8.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. “Surface Area”. Wolfram MathWorld. Bản gốc tàng trữ ngày 23 mon 6 năm 2012. Truy cập ngày 3 mon 7 năm 2012.
^ Foundation, CK-12. “Surface Area”. CK-12 Foundation (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 9 mon 10 năm 2018.
^ Walter Rudin (1966). Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6.
^ Gerald Folland (1999). Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., p. trăng tròn, ISBN 0-471-31716-0
^ Moise, Edwin (1963). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ Bureau international des poids et mesures (2006). “The International System of Units (SI)” (PDF). 8th ed. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 5 mon 11 năm 2013. Truy cập ngày 13 mon hai năm 2008. Chapter 5.
^ , ISBN 978-0-486-43231-1
^ Stewart, James (2003). Single variable calculus early transcendentals (ấn phiên bản 5). Toronto ON: Brook/Cole. tr. 3. ISBN 978-0-534-39330-4. However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to tướng prove the familiar formula for the area of a circle:
^ ^a ^b Arndt, Jörg; Haene l, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. Truy cập ngày 5 mon 6 năm 2013. English translation by Catriona and David Lischka.
^ , ISBN 978-0-03-029558-4
^ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. tr. 321–323.
^ Weisstein, Eric W., "Diện tích" kể từ MathWorld.
^ Bourke, Paul (tháng 7 năm 1988). “Calculating The Area And Centroid Of A Polygon” (PDF). Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 16 mon 9 năm 2012. Truy cập ngày 6 mon hai năm 2013.
^ “Area of Parallelogram/Rectangle”. ProofWiki.org. Bản gốc tàng trữ ngày trăng tròn mon 6 năm 2015. Truy cập ngày 29 mon 5 năm 2016.
^ “Area of Square”. ProofWiki.org. Bản gốc tàng trữ ngày 4 mon 11 năm 2017. Truy cập ngày 29 mon 5 năm 2016.
^ Problem Solving Through Recreational Mathematics, 2012, ISBN 978-0-486-13174-0
^ Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach, 2002, ISBN 978-0-8493-1319-6
^ Braden, Bart (tháng 9 năm 1986). “The Surveyor's Area Formula” (PDF). The College Mathematics Journal. 17 (4): 326–337. doi:10.2307/2686282. JSTOR 2686282. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 27 mon 6 năm 2012. Truy cập ngày 15 mon 7 năm 2012.
^ Trainin, J. (tháng 11 năm 2007). “An elementary proof of Pick's theorem”. Mathematical Gazette. 91 (522): 536–540.