Preview text
Giải tích 2 – Đề số 12
Câu 1: Tính
' fx(1,1) của hàm
Bạn đang xem: đề thi giải tích 2
2 2 f x y( , ) 2 4 x hắn và màn trình diễn hình học tập của
đạo hàm riêng biệt này như thể thông số góc của tiếp tuyến
Bài giải:
fx(1,1) 2 2
1 ' (1,1) 2
f x
Mặt phẳng phiu y=1 tách f x y( , ) tạo nên trở nên đồ dùng thị C 1
Tiếp tuyến của C 1 bên trên điểm M(1,1,2 2 ) sở hữu thông số góc là:
1 ' (1,1) 2
f x
Câu 2: Tìm gtln, gtnn của
3 3 f x hắn x hắn xy( , ) 3 bên trên miền 0 x 2, 1 hắn 2
Bài giải:
2 f x hắn x y' ( , ) 3 3x =
2 f x hắn y x' ( , ) 3 3y =
x=y=
khi x=0 =>
3 f hắn y y( ) , [ 1,2] max 8,min 1 ;
khi x=2 =>
3 f hắn y hắn y( ) 6 8, [ 1,2] max 13,min 4
khi y=-1 =>
3 f x x( ) 1 3x;
2 f x x'( ) 3 3 vô nghiệm
khi y=2 =>
3 f x x( ) 8 6 , (0,2)x x ;
2 f x x'( ) 3 6
=>x 2 f 2,2 8 4 2
Max f=13 đạt bên trên (2,-1), min f =-1 đạt bên trên (0,-1)
Câu 3: Khảo sát sự quy tụ của những chuỗi số:
1
( 1)
1
n
n n n
Bài giải:
lim | | 1 0n n
u
=> chuỗi phân kỳ theo dõi ĐK cần thiết.
Câu 4: Tìm nửa đường kính quy tụ của chuỗi luỹ thừa
1 3 3
(2 1)( 3)
3 ln
n
n
n x
n n n
Bài giải:
limn n 3 n
u x
Để chuỗi quy tụ => x 3 1 => 2 x 4
x=2 => 3 3 một nửa 3
( 1) (2 1) ( 1) 2
3 .ln 3 ln
n n
n
n u n n n n n
quy tụ theo dõi chi phí chuẩn chỉnh Leibnitz
x=4 => 3 3 một nửa 3
(2 1) 2
3 .ln 3 ln
n
n u n n n n n
phân kỳ theo dõi chi phí chuẩn chỉnh tích phân
vậy 2 x 4
Câu 5:Tính tích phân kép max ,
D
I x hắn dxdytrong cơ D là miền phẳng phiu giới hạn
bởi 0 x 4,0 hắn 4.
Bài giải:
Trên miền D 1 max(x,y)=y, bên trên miền D 2 max(x,y)=x
Do cơ max ,
D
I x hắn dxdy
D 1 D 2
xdxdyydxdy
4
0 0
4
4
3
128
x
x
xdydxydydx
Giải tích 2 – Đề số 13
Câu 1:. Tính
' fy(0,1) của hàm
2 2 f x y( , ) 3 2 x y và màn trình diễn hình học tập của đạo
hàm riêng biệt này như thể thông số góc của tiếp tuyến.
Tương tự động câu 1 đề 12.
Câu 2: Tìm độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất ( )
xy z x hắn e bên trên miền 2 x hắn 1.
Bài giải
Đặt
2 2 1
2
u v x u
u v v R y
2 2 2 2
4 4 4 .
u v u v
z ue ue e
Xét
2 [-2,1] 4 1 4 [-2,1]
min f 2 2
ax f 1
u
f e
f u ue
m f e
Vậy max z =2e đạt bên trên (u,v)=(1,0) hoặc (x,y)=(1/2,1/2)
max z =-4e
4 đạt bên trên (u,v)=(-2,0) hoặc (x,y)=(-1,-1)
Câu 3: Khảo sát sự quy tụ của chuỗi số
1
( 1)
( 1)
n
n n n
Bài giải 1:
Có em giải như sau:
( 1) ( 1)
( 1)
n n
n n n
( 1)
n
un n
quy tụ theo dõi chi phí chuẩn chỉnh Leibnitz
Các em đánh giá coi trúng hoặc sai?
Bài giải 2:
Có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
n n n n n n
n n u n n n n
Vì
2
1 1
n
n
n
n
quy tụ theo dõi chi phí chuẩn chỉnh leinitz và 2
1
n n 1
phân kỳ bởi vậy chuỗi phân kỳ.
Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của 2
2 3 ( ) 5 6
x f x x x
, bên trên x 0 1 và dò la miền quy tụ của chuỗi
này.
Bài giải 2
2 3 9 7 ( ) 5 6 3 2
x f x x x x x
Đăt u=x-
0 0 0 0
1 0
9 7 9 7 9 7 ( ) 2 1 1 1 2( 1) 2( 1) 2 2
9 9 1 7 7 1 2 2 2 2
9 7 1 2
n n n n
n n n n
n n n
f x u u u u u u
u x u x
x
Câu 5: Tính tích phân kép
D
I xy dxdy , nhập cơ D là miền phẳng phiu số lượng giới hạn bởi
2 2 1 x hắn 4.
Bài giải
Vì hàm nhập dấu vết phân là hàm chẵn theo dõi x,hắn và miền D đối xứng qua quýt 2 trục
ox,oy nên tao chỉ việc tính tích phân bên trên góc phần 4 loại I rồi bộp chộp 4 phiên lên.
1 3 2 1
1 1 3
V t dt
Đặt: tsinu
2 4
2
1 os 3 8
V c udu
Câu 7: Tính tích phân mặt mũi loại một 2
S
I xds với S là phần mặt mũi phẳng phiu x hắn z 2
nằm nhập hình cầu
2 2 2 x hắn z 4.
Bài giải
Vì sở hữu tính đối xứng nên
2 2 2
S S S
I xds yds zds =
2 ( ) 3 S
x hắn z ds
2 2 3 S
ds =
4
3
S
Hình cầu sở hữu tâm I(0,0,0)
( , )
0 0 0 2 2
3 3
dI
2 2 2 8 (2 ( ) ) 3 3
S
Vậy
32
9
I
Giải tích 2 – Đề số 11
Câu 1: Vẽ khối số lượng giới hạn bởi
2 2 2 x hắn z 2 hắn,
2 2 y x z .
Câu 2: Trên mặt mũi phẳng phiu x hắn z 2 0 dò la điểm sao mang đến tổng khoảng cách kể từ đó
điểm nhị mặt mũi phẳng phiu x z 3 6 0 và hắn z 3 2 0 là nhỏ nhất.
Xét hệ:
023
063
02
zy
zx
yx
(x,y,z)=(3,-1,1)
Điểm (3,-1,1) nằm trong 3 mặt mũi phẳng phiu nên tổng khoảng cách kể từ điểm cơ cho tới nhị mặt mũi x z 3 6 0 và
y z 3 2 0 vì như thế 0 và là khoảng cách nhỏ nhất.
Câu 3: : Khảo sát sự quy tụ của chuỗi số 3 3 3 2 1
(3 1)!
n 1 2 5
n
n
Bài giải:
27 )1(
)23)(13( 3
1
n
nnn
a
a
n
n Lúc n, chuỗi phân kỳ
Câu 4: Tìm miền quy tụ của chuỗi lũy thừa
2
1
( 5) ( 2)
3 (2 1) 2
n n
n n
x
n n
Bài giải:
Tìm miền quy tụ của chuỗi lũy thừa
2
1
( 5) ( 2)
3 (2 1) 2
n n
n n
x
n n
= 1
n n
2 2 5( 2) 5( 2) lim | | lim 3 3
n n n n
x x
2 2 D x y: 4
Đổi thanh lịch toạ phỏng trụ:
2 2
cos 0 2
sin 0 2
2
x r
y r V r
z z r z r
2
2
2 2 2
0 0
( sin ) 24
r
r
I d dr r r z dz
Câu 7:
Tính tích phân mặt mũi loại nhị (2 )
S
I x hắn dydz , với S là phần mặt
2 2 z x y bị cắt
bởi mặt mũi z 4 , phía bên trên theo phía trục Oz
Bài giải:
Cách 1:
2
4
2
2 2
:
4
z
Oyz z y
y
D
y z
Chia S thực hiện 2 phần:
S 1 : phần bên trước mp(0yz)
2 x z y và pháp vecto tạo nên với ox góc tù
S 2 : phần bên trước mp(0yz)
2 x z hắn và pháp vecto tạo nên với ox góc nhọn.
Do cơ tao có:
2 2
2 2
2 2 4 4 2 2
2 2
(2 )dyd ( 2 )dyd
2 2 16
D D
y y
I z hắn y z z hắn y z
dy z hắn y dz dy z hắn y dz
Các em rất có thể thực hiện giản dị và đơn giản câu hỏi tức thì từ trên đầu vì như thế cách:
Nhận xét S đối xứng qua quýt oyz và hàm x(y,z)=y chẵn theo dõi x và x(y,z)=2x lẻ theo dõi x
nên tao có:
1
2 2 2
S
S S
ydydz
xdydz xdydz
với S một là nửa mặt mũi S phần bên trước.
Khi đó:
2 2 2 dyd 16
D
I z hắn z
Cách 2: Dùng pháp véc tơ đơn vị chức năng trả về tích phân lối loại 1
Cách 3: Thêm nhập phần mặt mũi z=4 rồi người sử dụng công thức O-G
Giải tích 2 – Đề số 20
Câu 1: Tìm vi phân cấp cho nhị của hàm z z x y ( , ) là hàm ẩn xác lập kể từ phương trình
z x hắn z e .
Bài giải
Cách 1:
'
'
1 1
1 1
1
1
z z
x z z
y z
x hắn z e x hắn z e
z e e
z e
#######
#######
#######
#######
' ' 2 3
Xem thêm: lớp trưởng tiếng anh là gì
'' 2 2 3 3
' 3
.
1 1
1 1
1
z z x xx z z
z z
yy z z
z
y z
e z e z
e e
e e z d z dx dy
e e
e z
e
Cách 2:
#######
2 2 2 2 2 2 2 3
1
( ) ( )
1 1 1 1
z z
z
z z z z z z z z z
dx dy dx dy dz e dz dz e
d dx dy dz d e dz
e dz e dx dy e d z e dz e d z d z dx dy e e e e
Các em cần thiết làm rõ vi phân, Chú ý thân thuộc hàm và phát triển thành mới mẻ thực hiện được cơ hội 2.
Câu 2:. Tìm đặc biệt trị của hàm f x hắn z x hắn z( , , ) 2 3 với nhị ĐK x hắn z 1
và
2 2 x y 1.
Bài giải
Xét:
2 2 L x hắn z x hắn z, , 2 3 x hắn z x y
Câu 5: Tính tích phân kép ( )
D
I x hắn dxdy , nhập cơ D là miền phẳng phiu số lượng giới hạn bởi
đường astroid
3 3 x a cos ,t hắn a t t sin ,0 / 2, và những trục tọa độ
Bài giải
Đổi biến:
332
3 3 2
2 2 2 2 2
cos cos 3 cos sin
sin sin 3 sin cos
3 3 sin cos sin 2 4
x ar a a J y ar a a
a a
2 1 2 2 3 3
0 0
2 3 2 3 3
3 sin 2 cos sin 4
1 sin 2 cos sin 0 2
I d rời khỏi ar ar dr
a d
Câu 6: Tính tích phân lối loại một ( )
C
I x hắn dl , C là cung ở bên phải của đường
Lemniscate sở hữu phương trình nhập tọa phỏng cực
2 2 r a cos2 , a 0.
Bài giải
r(t)=2sqrt(cos(2t))
-0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2.
-0.
-0.
-0.
-0.
x
y
4 2 '
4
I r cos sin r r d
Câu 7: Tính tích phân mặt mũi loại hai
S
I yzdydz zxdxdz xydxdy , với S là biên của vật
thể số lượng giới hạn vì như thế x hắn z x hắn z 1, 0, 0, 0 , kim chỉ nan phía nhập.
Bài giải
Mặt S kín nên tao người sử dụng O-G suy rời khỏi tích phân vì như thế ko.
Giải tích 2 – Đề số 12
Câu 1: Tính
' fx(1,1) của hàm
2 2 f x y( , ) 2 4 x hắn và màn trình diễn hình học tập của
đạo hàm riêng biệt này như thể thông số góc của tiếp tuyến
Bài giải:
fx(1,1) 2 2
1 ' (1,1) 2
f x
Mặt phẳng phiu y=1 tách f x y( , ) tạo nên trở nên đồ dùng thị C 1
Tiếp tuyến của C 1 bên trên điểm M(1,1,2 2 ) sở hữu thông số góc là:
1 ' (1,1) 2
f x
Câu 2: Tìm gtln, gtnn của
3 3 f x hắn x hắn xy( , ) 3 bên trên miền 0 x 2, 1 hắn 2
Bài giải:
2 f x hắn x y' ( , ) 3 3x =
2 f x hắn y x' ( , ) 3 3y =
x=y=
khi x=0 =>
3 f hắn y y( ) , [ 1,2] max 8,min 1 ;
khi x=2 =>
3 f hắn y hắn y( ) 6 8, [ 1,2] max 13,min 4
khi y=-1 =>
3 f x x( ) 1 3x;
2 f x x'( ) 3 3 vô nghiệm
khi y=2 =>
3 f x x( ) 8 6 , (0,2)x x ;
2 f x x'( ) 3 6
=>x 2 f 2,2 8 4 2
Max f=13 đạt bên trên (2,-1), min f =-1 đạt bên trên (0,-1)
Câu 3: Khảo sát sự quy tụ của những chuỗi số:
1
( 1)
1
n
n n n
Câu 6: Tính tích phân bội ba
V
Ixdxdydz, nhập cơ V là vật thể được giới hạn
bởi
2 2 2 2 2 x hắn z 0,x hắn z 2.
Bài giải:
Đổi thanh lịch toạ phỏng trụ
2 2
cos 0 2
sin 0 1
2
y r
z r V r
x x r z r
2
2
2 1
002
7
12
r
r
I d dr rxdx
Câu 7: Tính tích phân mặt mũi loại hai
3 3 3
S
I x dydz hắn dxdz z dxdy với S là mặt mũi phía
ngoài của vật thể số lượng giới hạn bởi
2 2 2 x z y ,0 y 1.
Bài giải:
Áp dụng công thức O-G:
3 3 3 2 2 2 3 ( )
S V
I x dydz hắn dxdz z dxdy x hắn z dxdydz
Đổi thanh lịch toạ phỏng trụ:
cos 0 2
sin 0 1
1
z r
x r V r
y hắn r y
2 1 1 2 1 2 2 2 3
0 0 0 0
4 1 9 3 ( ) 3 ( )
3 3 10 r
d rdr r hắn dy d r r rdr
Giải tích 2 – Đề số 18
Câu 1: Cho
2 2
2 2
, ( , ) (0,0) ( , )
0, ( , ) (0,0)
x y xy x y f x hắn x y
x y
. Tìm
2 2 2 2
2 2
(0,0), (0,0), (0,0), (0,0)
f f f f
x hắn y x x y
.
Bài giải
2 2 2 3 ' 2 2 2 2 2 0
( ) 4 ( ,0) (0,0) ' , 0,0 lim 0 ( )
x x x
y x hắn x hắn f x f f f x hắn x hắn x
2
2 0
2
' ( ,0) ' ( ,0) (0,0) lim 0
' (0, ) ' (0,0) (0,0) lim 1
x x
x
x x
y
f f x f x
x x
f f hắn f
y x y
2 2 2 3 ' 2 2 2 2 2 0
( ) 4 (0, ) (0,0) ' , 0,0 lim 0 ( )
y y y
x x hắn y x f hắn f f f x hắn x hắn y
2 '
2 0
2
' (0, ) 0, (0,0) lim 0
' ( ,0) ' (0,0) (0,0) lim 1
y y
y
y y
x
f f hắn f
y y
f f x f
x hắn x
Câu 2:. Tìm đặc biệt trị của hàm f x hắn x y( , ) 4 6 với điều kiện
2 2 x y 13.
Bài giải
Xét:
2 2 h x hắn x y( , ) 4 6 (x y 13)
1 2
2 2
' 4 2 0 1 1
' 6 2 0 2 2
3 3 13
x
y
h x
h hắn Phường x Phường x
y y x y
h'' 2 , '' 2 , '' 0x h y h xy
2 2 2 1
2 2 2 2
2 2 0
2 2 0
d h Phường dx dy
d h Phường dx dy
Vậy f đạt cực to Phường 2 và đặc biệt đái bên trên Phường 1.
(Để dò la cận bên dưới của, tao mang đến x=y suy rời khỏi tan= 3. r nhập toạ phỏng đặc biệt mở
rộng của Elip luôn luôn chuồn kể từ 0 cho tới 1).
1
0 3
D 3 3 3
r S dxdy d dr
####### Câu 6: Tính tích phân
3 xy 2 xy
C
I x ye dx hắn xe cộ dy , nhập cơ C là phần elip
2 2
1 16 9
x y từ
Bài giải
Ta có: 1
P Q xy xy e y x
do cơ tích phân ko tùy thuộc vào lối đi:
0 3 3 2
4 0
64 9 73 C AO OB
I x dx hắn dy
Câu 7: Tính tích phân mặt mũi loại hai
3 ( 1) 3 5 S
I x dydz ydzdx zdxdy , với S là mặt
ngoài của nửa bên dưới mặt mũi cầu
2 2 2 , 0
2 x hắn z x z.
Bài giải
Gọi S’ là mặt mũi bên trên của hình tròn
2 x y 2 x
2 nhập mp Oxy
S S S' S'
I
Trên S’(z=0): dz=
'
S
Áp Dụng O-G bên trên khối V gh vì như thế S và S’:
2
'
3 1 8
S S S V
I x dxdydz
2 [3( 1) 3 5)] V
I x dxdydz với V là nữa bên dưới mặt mũi cầu
2 2 2 , 0
2 x hắn z x z
#######
2 1 2 2 2 2
0 0 2
2 3 2
0 2
sin 3 sin os 8
8 3 86 sin sin os 3 5 15
d d c d
d c d
Giải tích 2 – Đề số 19
Câu 1: Vẽ khối số lượng giới hạn bởi
2 2 2 z 4 ,x x y 2 ,hắn x hắn z 2.
Các em tự động vẽ.
Câu 2: Tìm đặc biệt trị của hàm f x hắn z x hắn z( , , ) 2 6 10 với điều kiện
2 2 2 x hắn z 35.
Bài giải
Xét
2 2 2 L x hắn z, , 2 6 10 x hắn z x hắn z
'
'
' 12
2 2 2
2 2 011
6 2 011
10 2 0 3 3
5 5 35
x
y
z
L x
L hắn x x Phường P L z hắn y
z z x hắn z
2 2 2 2 d L 2 dx dy dz
2 1
2 2
d L P
d L P
Vậy hàm f đạt cực to bên trên Phường 2 (1,3,5) và đặc biệt đái bên trên Phường 1 (-1,-3,-5).
Câu 3: Khảo sát sự quy tụ của chuỗi
2
1
( 1)
n n n n
Bài giải
Ta có:
1 1
( 1)
n n n n
Suy rời khỏi chuỗi phân kỳ.
Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của
ln(1 3 ) ( )
x t f x dt t
và dò la nửa đường kính quy tụ của chuỗi
này.
Bài giải
Ta có:
1 1 0 0 1 1 2
(3 ) ( 1) ln(1 3 ) 1 3 ( 1) 1
3 ( ) ( 1) ( 1)
n n n n n n
n n n n
n
t
t n x t t n
f x x n
Xem thêm: số nguyên tố là số gì
R=1/3 theo dõi chi phí chuẩn chỉnh Cauchy
Bình luận