các công thức tích phân

Bài ghi chép Công thức tích phân với cách thức giải cụ thể hùn học viên ôn tập luyện, biết phương pháp thực hiện bài bác tập luyện Công thức tích phân.

Bạn đang xem: các công thức tích phân

Công thức tích phân khá đầy đủ, cụ thể nhất

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích S, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

I. Định nghĩa, công thức tích phân

Quảng cáo

1. Khái niệm tích phân

* Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tiếp bên trên K và a, b là nhị số bất kì nằm trong K. Nếu F là 1 trong nguyên vẹn hàm của f bên trên K thì hiệu số:

F(b) - F(a)

Được gọi là tích phân của f kể từ a cho tới b và kí hiệu:

* Nhận xét: Tích phân của hàm số f kể từ a cho tới b rất có thể kí hiệu vị

Tích phân ê chỉ tùy thuộc vào f và những cận a; b tuy nhiên ko tùy thuộc vào cơ hội ghi trở nên số.

* Định lí: Cho hàm số hắn = f(x) liên tục; ko âm bên trên đoạn [a;b]. Khi ê, diện tích S S của hình thang cong số lượng giới hạn vị đồ gia dụng thị hàm số hắn = f(x); trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b là:

Quảng cáo

2. Tính hóa học của tích phân

Giả sử cho tới nhị hàm số f(x) và g(x) liên tiếp bên trên K và a, b, c là phụ thân số ngẫu nhiên nằm trong K. Khi ê tao sở hữu :

II. Một số cách thức tính tích phân

1. Phương pháp thay đổi trở nên số

1.1. Phương pháp thay đổi trở nên số dạng 1

Định lí

Nếu:

1) Hàm x = u(t) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên [α;β].

2) Hàm thích hợp f [u(t)] được xác lập bên trên [α;β].

3) u(α) = a; u(β) = b.

Khi đó:

Quảng cáo

Phương pháp chung

• Bước 1: Đặt x = u(t).

• Bước 2: Tính vi phân nhị vế: x = u(t) ⇒ dx = u'(t)dt.

Đổi cận:

• Bước 3: Chuyển tích phân tiếp tục cho tới sang trọng tích phân theo dõi trở nên t.

Vậy:

1.2. Phương pháp thay đổi biến tấu 2

Định lí

Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu và sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên đoạn [a;b] sao cho tới f(x)dx = g(u(x))u'(x)dx = g(u)du thì:

Phương pháp chung

• Bước 1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx

• Bước 2: Đổi cận:

• Bước 3: Chuyển tích phân tiếp tục cho tới sang trọng tích phân theo dõi u.

Vậy:

2. Phương pháp tích phân từng phần

a. Định lí

Nếu u(x) và v(x) là những hàm số sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên [a;b] thì:

b. Phương pháp chung

• Bước 1: Viết f(x)dx bên dưới dạng udv = u.v’dx bằng phương pháp lựa chọn một phần tương thích của f(x) thực hiện u(x) và phần sót lại dv = v'(x)dx

• Bước 2: Tính du = u'dx và v = ∫dv = ∫v'(x)dx

• Bước 3: Tính

* Cách bịa đặt u và dv vô cách thức tích phân từng phần.

Quảng cáo

III. Tích phân những hàm số sơ cung cấp cơ bản

3.1. Tích phân hàm hữu tỉ

Dạng 1

(với a ≠ 0)

Chú ý: Nếu

Dạng 2

(ax² + bx + c ≠ 0 với từng x ∈ [α;β])

Xét Δ = b² - 4ac.

• Nếu Δ > 0 thì

thì:

• Nếu Δ = 0 thì:

thì:

• Nếu Δ < 0 thì:

Dạng 3

(trong ê liên tiếp bên trên đoạn [α;β])

• phẳng cách thức như nhau thông số, tao mò mẫm A và B sao cho:

• Ta có:

Tích phân:

Tích phân: nằm trong dạng 2.

Dạng 4

với P(x) và Q(x) là nhiều thức của x.

• Nếu bậc của P(x) to hơn hoặc vị bậc của Q(x) thì người sử dụng luật lệ phân chia nhiều thức.

• Nếu bậc của P(x) nhỏ rộng lớn bậc của Q(x) thì rất có thể xét những ngôi trường hợp:

• Khi Q(x) chỉ mất nghiệm đơn α₁, α₂, α₃ ... thì đặt

• Khi Q(x) sở hữu nghiệm đơn và vô nghiệm:

Q(x) = (x - α)(x² + px + q), Δ = p² - 4q < 0 thì đặt:

• Khi Q(x) sở hữu nghiệm bội:

Q(x) = (x - α)(x - β)² với α ≠ β thì đặt:

Q(x) = (x - α)²(x - β)³ với α ≠ β thì đặt:

3.2. Tích phân hàm vô tỉ

- vô ê R(x; f(x)) sở hữu dạng:

Dạng 1

Khi ê tao có:

• Nếu Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u² + k²)

• Nếu: Δ = 0

• Nếu: Δ > 0

    Với a > 0: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

    Với a < 0: f(x) = -a(x₁ - x)(x₂ - x)

Căn cứ vô phân tách bên trên, tao sở hữu một số trong những cơ hội giải sau:

Phương pháp:

* Trường hợp: Δ < 0, a > 0 ⇒ f(x) = a(u² + k²)

Xem thêm: đề thi văn thpt quốc gia 2022

Khi ê đặt:

* Trường hợp: Δ = 0

Khi đó:

* Trường hợp: Δ > 0, a > 0. Đặt:

* Trường hợp: Δ > 0, a < 0. Đặt:

Dạng 2

Phương pháp:

• Bước 1:

Phân tích:

• Bước 2:

Quy đồng hình mẫu số, tiếp sau đó như nhau thông số nhị tử số nhằm suy rời khỏi hệ nhị ẩn số A, B

• Bước 3:

Giải hệ mò mẫm A, B thay cho vô (1)

• Bước 4:

Tính:

Trong ê đã hiểu phương pháp tính phía trên.

Dạng 3

Phương pháp:

• Bước 1:

Phân tích:

• Bước 2:

• Bước 3:

Thay toàn bộ vô (1) thì I sở hữu dạng:

Tích phân này tất cả chúng ta đã hiểu phương pháp tính.

Dạng 4

(Trong đó: R(x,y) là hàm số hữu tỷ so với nhị trở nên số x, hắn và α, β, γ, δ là những hằng số tiếp tục biết)

Phương pháp:

• Bước 1:

Đặt:

• Bước 2:

Tính x theo dõi t: phẳng cơ hội nâng lũy quá bậc m nhị vế của (1) tao sở hữu dạng x = φ(t).

• Bước 3:

Tính vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt và thay đổi cận.

• Bước 4:

Tính:

3.3. Tích phân dung lượng giác

3.3.1. Một số công thức lượng giác

* Công thức cộng

* Công thức nhân đôi

* Công thức hạ bậc

* Công thức tính theo dõi t

* Công thức đổi khác tích trở nên tổng

* Công thức đổi khác tổng trở nên tích

* Công thức thông thường dùng:

Hệ quả:

3.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác

• Nếu bắt gặp dạng tao bịa đặt t = sinx.

• Nếu bắt gặp dạng tao bịa đặt t = cosx.

• Nếu bắt gặp dạng tao bịa đặt t = tanx.

• Nếu bắt gặp dạng tao bịa đặt t = cotx.

Dạng 1

I₁ = ∫(sinx)ⁿ dx; I₂ = ∫(cosx)ⁿ dx

* Phương pháp

• Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc.

• Nếu n = 3 thì dùng công thức hạ bậc hoặc đổi khác.

• Nếu n lẻ (n = 2p + 1) thì triển khai trở nên đổi:

Dạng 2

I = ∫sin^mx.cosⁿx dx (m, n ∈ N)

* Phương pháp

• Trường thích hợp 1: m, n là những số nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc, đổi khác tích trở nên tổng.

b. Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì trở nên đổi:

c. Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì trở nên đổi:

Dạng 3

I₁ = ∫(tanx)ⁿ dx; I₂ = ∫(cotx)ⁿ dx (n ∈ N)

IV. Ứng dụng tích phân

1. Diện tích hình phẳng

a. Diện tích hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị 1 đàng cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị đồ gia dụng thị hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b], trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b được xác định:

b. Diện tích hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị 2 đàng cong

Diện tích hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị đồ gia dụng thị hàm số hắn = f(x); hắn = g(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b] và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b được xác định:

- Nếu bên trên đoạn [a;b], hàm số f(x) ko thay đổi lốt thì:

- Nắm vững vàng phương pháp tính tích phân của hàm số sở hữu chứa chấp độ quý hiếm vô cùng.

- Diện tích của hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị những đàng x = g(y),x = h(y) và hai tuyến phố trực tiếp hắn = c; hắn = d được xác định:

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoe xoay

a. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể số lượng giới hạn vị nhị mặt mũi phẳng lặng vuông góc với trục Ox bên trên những điểm a và b; S(x) là diện tích S tiết diện của vật thể bị hạn chế vị mặt mũi phẳng lặng vuông góc với trục Ox bên trên điểm a (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tiếp bên trên đoạn [a;b]. Thể tích của B là:

b. Thể tích khối tròn xoe xoay

Cho hàm số hắn = f(x) liên tục; ko âm bên trên [a;b]. Hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị đồ gia dụng thị hàm số hắn = f(x); trục hoành và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b xoay quanh trục Ox tạo ra một khối tròn xoe xoay. Thể tích của chính nó là:

- Thể tích khối tròn xoe xoay được sinh rời khỏi khi xoay hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị những đàng x = g(y), trục tung và hai tuyến phố trực tiếp hắn = c; hắn = d xoay quanh trục Oy là:

- Thể tích khối tròn xoe xoay được sinh rời khỏi khi xoay hình phẳng lặng số lượng giới hạn vị những đàng hắn = f(x); hắn = g(x) và hai tuyến phố trực tiếp x = a; x = b xoay quanh trục Ox:

Xem thêm thắt những dạng bài bác tập luyện Toán lớp 12 sở hữu vô đề đua trung học phổ thông Quốc gia khác:

• Bài tập luyện về đặc điểm của tích phân
• Bài thói quen tích phân cơ bản
• Tính tích phân hàm nhiều thức, phân thức vị cách thức thay đổi trở nên số
• Tính tích phân dung lượng giác vị cách thức thay đổi trở nên số
• Tính tích phân hàm số nón, logarit vị cách thức thay đổi trở nên số
• Tính tích phân hàm chứa chấp căn thức vị cách thức thay đổi trở nên số
• Cách tính tích phân vị cách thức thay đổi trở nên số loại 2

Săn SALE shopee mon 7:

• Đồ người sử dụng học hành giá thành tương đối mềm
• Sữa chăm sóc thể Vaseline chỉ rộng lớn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Xem thêm: đồ thị hàm số bậc 2