Lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cosi là một trong những trong mỗi kiến thức và kỹ năng toán học tập thông dụng, được dùng nhằm giải nhiều hình thức toán về phương trình và bất phương trình không giống nhau hao hao dò xét độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức. Trong nội dung bài viết này, Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em nắm rõ rộng lớn những kiến thức và kỹ năng về bất đẳng thức Cosi cho tới 2 số, cho tới 3 số, dạng tổng quát tháo và hệ trái khoáy với một vài bài xích luyện áp dụng đem đáp án.

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Bất Đẳng Thức Đại Số Lớp 10

Bạn đang xem: bất đẳng thức cô si

Bất đẳng thức Cosi là gì?

Bất đẳng thức Côsi là gì? (Nguồn: Internet)

Bất đẳng thức Cosi là một trong những bất đẳng thức truyền thống vô toán học tập, bắt mối cung cấp kể từ bất đẳng thức đằm thắm tầm nằm trong và tầm nhân (AM – GM). BĐT Cosi được minh chứng bởi vì căn nhà toán học tập người pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài thương hiệu Cosi, nhiều người thường hay gọi là bất đẳng thức Cauchy hoặc bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của của Arithmetic Mean và Geometric Mean).

>>> Xem thêm: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Các dạng màn trình diễn bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Côsi hoàn toàn có thể được màn trình diễn bởi vì dạng tổng quát tháo hoặc bên dưới nhiều hình thức quan trọng đặc biệt không giống nhau.

Bất đẳng thức Côsi dạng tổng quát

Với những số thực ko âm x₁, x₂,…, x_n tao hoàn toàn có thể màn trình diễn bất đẳng thức Cosi bên dưới 3 dạng như sau:

\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 3}:\left(\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right)^n\ge x_1.x_2...x_n
\end{aligned}

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ = … = x_n

Với những số thực dương x₁, x₂,…, x_n tao có:

\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2
\end{aligned}

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ = … = x_n

Dạng quánh biệt của bất đặng thức Cauchy

Một số dạng màn trình diễn quan trọng đặc biệt không giống của bất đẳng thức Côsi:

dạng màn trình diễn quan trọng đặc biệt của bất đẳng thức cosi

Hệ trái khoáy của bất đẳng thức Côsi

Từ công thức tổng quát tháo và những dạng quan trọng đặc biệt, tao đem 2 hệ trái khoáy cần thiết của bất đẳng thức Cauchy nhưng mà những em cần thiết ghi lưu giữ tiếp sau đây. Các hệ trái khoáy này thông thường được vận dụng nhiều trong những công việc dò xét độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức.

Hệ trái khoáy 1: Nếu tổng của 2 số dương ko thay đổi thì tích của bọn chúng rộng lớn nhất lúc 2 số bại đều nhau.
Hệ trái khoáy 2: Nếu tích của 2 số dương ko thay đổi thì tổng của 2 số này nhỏ nhất lúc 2 số bại đều nhau.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực ko âm

Với 2 số thực ko âm a và b, tao thấy khi a và b đều bởi vì 0 thì biểu thức này luôn luôn chính. Lúc này, tao chỉ việc minh chứng bất đẳng thức Cosi luôn luôn chính với 2 số a, b dương.

Cách minh chứng như sau:

\begin{aligned}
&\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\
&\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0\text{ (luôn chính }\forall a,b\ge0)
\end{aligned}

Như vậy, tao tiếp tục minh chứng được BĐT Cosi luôn luôn chính với 2 số thực ko âm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực ko âm

Với a, b, c đều bởi vì 0, bất đẳng thức Cosi luôn luôn đúng
Với a, b, c dương, tao minh chứng BĐT Cosi như sau:

\begin{aligned}
&\text{Đặt }x=\sqrt[3]a, \ y=\sqrt[3]b,\ z=\sqrt[3]c\\
&\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0
\end{aligned}

Lúc này, tao trở lại dạng minh chứng bất đẳng thức của 3 số thực x, nó, z dương

\begin{aligned}
&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \ge0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]\ge 0\text{ (luôn chính }\forall x,y,z\ge0)\\
\end{aligned}

Khi bại, vết bởi vì xẩy ra khi x = nó = z hoặc a = b = c

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực ko âm

Theo minh chứng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương tao được biểu thức luôn luôn chính. Suy đi ra, với n = 2 (2 số thực ko âm) thì BĐT Cosi luôn luôn chính.

Do bại, nhằm minh chứng bất đẳng thức luôn luôn chính với n số thì nên minh chứng nó cũng giống với 2n số. Cách minh chứng như sau:

Xem thêm: bản đồ miền bắc việt nam

x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}

Theo đặc điểm quy hấp thụ thì bất đẳng thức này chính với n là một trong những lũy quá của 2.

Giả sử bất đẳng thức Cosi chính với n số, tao minh chứng được nó luôn luôn chính với n-1 số như sau:

\begin{aligned}
&x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\\
&x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\\
&\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}}
\end{aligned}

BĐT Cosi với 2n số và (n – 1) số luôn luôn chính, kể từ bại tao hoàn toàn có thể tóm lại rằng BĐT Cosi với n số thực ko âm luôn luôn chính.

Bài luyện vận dụng

Dạng 1: sít dụng bất đẳng thức Cosi trực tiếp

Cho 3 số dương a, b, c, hãy triệu chứng minh:

\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8

Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cosi, tao có:

\begin{aligned}
&a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\\
&\Leftrightarrow \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ (điều nên triệu chứng minh)}

\end{aligned}

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Dạng 2: Biến thay đổi nhân phân tách, tăng, hạn chế một biểu thức

Cho 3 số thực dương a, b, c, minh chứng rằng:

\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, tao có:

\begin{aligned}
&\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\ (1)\\
&\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\ (2)\\
&\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2a\ (3)\\
&(1)+(2)+(3) \Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge 2(a+b+c)\\
&\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\text{ (điều nên triệu chứng minh)}
\end{aligned}

Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.

Xem thêm: thành phố đà nẵng thuộc tỉnh nào

Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education

Qua nội dung bài viết bên trên trên đây, Team Marathon Education tiếp tục share cho tới những em toàn cỗ nội dung tương quan cho tới bất đẳng thức Cosi lớp 8, lớp 9, lớp 10 bao hàm khái niệm, hệ trái khoáy, cơ hội minh chứng cùng theo với những dạng bài xích luyện thông thường gặp gỡ đem đáp án cụ thể. Hy vọng với những kiến thức và kỹ năng này, những em hoàn toàn có thể giải chất lượng tốt những bài xích luyện tương quan cho tới bất đẳng thức Côsi trong những bài xích đánh giá toán sắp tới đây.

Hãy tương tác ngay lập tức với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online trực tuyến nâng lên kiến thức và kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài xích đánh giá và kỳ thi đua chuẩn bị tới!