0 co phai la so nguyen ko

By Admin 13/11/2023 0
Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng sử dụng vô lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể vô lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: 0 co phai la so nguyen ko

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tứ Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số nguyên vẹn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát lác GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng SL(n)
  • Trực kí thác O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực kí thác quan trọng SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp kí thác hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội thông thườn là một số trong những hoàn toàn có thể được viết lách tuy nhiên không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số nguyên vẹn, trong những khi 9,75, 5 1/2 và ko nên là số nguyên vẹn.

Tập ăn ý những số nguyên vẹn bao hàm 0, những số đương nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch ngợm hòn đảo phép tắc nằm trong của bọn chúng (là những số nguyên vẹn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập ăn ý những số nguyên vẹn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn sở hữu viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ đồng hồ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là 1 trong tụ tập con cái của tụ tập những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là 1 trong tụ tập con cái của tụ tập những số thực . Giống như tụ tập những số đương nhiên, là tụ tập vô hạn kiểm điểm được.

Các số nguyên vẹn tạo nên trở nên group nhỏ nhất và khoanh nhỏ nhất chứa chấp những số đương nhiên. Trong lý thuyết số đại số, những số nguyên vẹn nhiều lúc được xem như là số nguyên vẹn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số nguyên vẹn đại số tổng quát lác rộng lớn. Trên thực tiễn, số nguyên vẹn (hữu tỉ) là số nguyên vẹn đại số tuy nhiên cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng để làm biểu thị những tụ tập không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong số những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số nguyên vẹn dương, hoặc cho những số nguyên vẹn ko âm và cho những số nguyên vẹn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số nguyên vẹn không giống 0, trong những khi những người dân không giống dùng nó cho những số nguyên vẹn ko âm hoặc mang lại {–1, 1}. Dường như, được dùng nhằm biểu thị luyện những số nguyên vẹn modulo p[2] (tức là luyện những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc luyện những số nguyên vẹn p -adic.[1][6][7]. chính vì vậy nếu như muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì nên khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này là sai. Có một số trong những bài bác câu hỏi chứng tỏ quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại chuồn tình huống không giống ko.Chúng tao nên địa thế căn cứ vô sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, vô sách lớp 6 tụ tập số nguyên vẹn chỉ mất kí hiệu là Z nên những khi tất cả chúng ta mang lại đề tuy nhiên sở hữu dùng ký hiệu không giống thông thường như hoặc thì tất cả chúng ta nên khái niệm bên trên đề là hoặc là tụ tập những số đương nhiên không giống ko, nếu như không tồn tại khái niệm bên trên đề thì coi như đề này là sai

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được xem như là những điểm tách rộc rạc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số nguyên vẹn ko âm được hiển thị vị màu xanh da trời lam và số nguyên vẹn âm red color.

Giống giống như những số đương nhiên, là tụ tập đóng góp với những phép tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhị số nguyên vẹn ngẫu nhiên là một số trong những nguyên vẹn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số nguyên vẹn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số đương nhiên, cũng chính là tụ tập đóng góp với phép tắc trừ.[8]

Các số nguyên vẹn tạo nên trở nên một khoanh đơn vị chức năng, vốn liếng là khoanh cơ bạn dạng nhất, bám theo nghĩa sau: so với ngẫu nhiên khoanh đơn vị chức năng này, đều sở hữu một phép tắc đồng cấu độc nhất kể từ những số nguyên vẹn vô khoanh này. Thuộc tính phổ quát lác này, ví dụ là 1 trong đối tượng người tiêu dùng lúc đầu vô loại khoanh, là đặc thù mang lại khoanh .

ko đóng góp với phép tắc phân tách, vì như thế thương của nhị số nguyên vẹn (ví dụ: 1 phân tách mang lại 2) hoàn toàn có thể ko là số nguyên vẹn. Mặc mặc dù những số đương nhiên là đóng góp với phép tắc lũy quá, tuy nhiên những số nguyên vẹn thì ko (vì thành quả hoàn toàn có thể là 1 trong phân số Lúc số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một số trong những đặc thù cơ bạn dạng của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân so với ngẫu nhiên số nguyên vẹn a, b và c:

Tính hóa học của phép tắc nằm trong và phép tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính kí thác hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch ngợm đảo: a + (−a) = 0 Số nguyên vẹn độc nhất sở hữu thành phần nghịch ngợm hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không sở hữu ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn từ của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác định rằng là 1 trong group abel với phép tắc nằm trong. Nó cũng là 1 trong group cyclic, vì như thế từng số nguyên vẹn không giống 0 đều hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với phép tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — bám theo tức thị ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được chấp nhận nhân bảo rằng cùng theo với phép tắc nhân là 1 trong monoid kí thác hoán. Tuy nhiên, ko nên từng số nguyên vẹn đều sở hữu nghịch ngợm hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Có nghĩa là với phép tắc nhân ko nên là 1 trong group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Lúc được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với phép tắc nằm trong và phép tắc nhân là 1 trong khoanh kí thác hoán sở hữu thành phần đơn vị chức năng. Nó là nguyên vẹn khuôn của toàn bộ những đối tượng người tiêu dùng của cấu hình đại số vì vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong những mang lại toàn bộ những độ quý hiếm của trở thành, thì cũng chính là đúng trong những ngẫu nhiên khoanh kí thác hoán sở hữu đơn vị chức năng này. Một số số nguyên vẹn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 vô một số trong những khoanh chắc chắn.

Việc thiếu thốn những ước số của 0 trong số số nguyên vẹn (thuộc tính sau cùng vô bảng) Có nghĩa là khoanh kí thác hoán là 1 trong miền nguyên vẹn.

Việc thiếu thốn những phép tắc nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko nên là đóng góp với phép tắc phân tách, Có nghĩa là không phải là 1 trong ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số nguyên vẹn bên dưới dạng một khoanh con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình thiết kế những số hữu tỉ kể từ những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được làm theo muốn tạo trở nên ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền nguyên vẹn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), khoanh số nguyên vẹn của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể khoanh con cái của chính nó.

Mặc mặc dù phép tắc phân tách thường thì ko được khái niệm bên trên , phép tắc phân tách "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là phép tắc phân tách Euclid, và sở hữu đặc thù cần thiết sau: mang lại nhị số nguyên vẹn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số nguyên vẹn q và r độc nhất sao mang lại a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số nguyên vẹn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của phép tắc phân tách a mang lại b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 hoạt động và sinh hoạt với cùng 1 chuỗi những phép tắc phân tách Euclid.

Một đợt nữa, vô ngôn từ của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là 1 trong khoanh Euclid. Vấn đề này ý niệm rằng là 1 trong khoanh ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số nguyên vẹn dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số nhân tố bám theo một cơ hội cơ bạn dạng độc nhất.[10] Đây là lăm le lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là 1 trong tụ tập sở hữu trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên vẹn là dương nếu như nó to hơn 0 và âm nếu như nó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số nguyên vẹn tương mến với những phép tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tao Tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là 1 trong khoanh sở hữu trật tự.

Các số nguyên vẹn là group abel sở hữu trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất sở hữu những thành phần dương được bố trí bám theo trật tự phải chăng.[11] Vấn đề này tương tự với tuyên phụ vương rằng ngẫu nhiên khoanh Review Noether nào thì cũng là 1 trong ngôi trường — hoặc một khoanh định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to tát 5
Các điểm red color thể hiện nay những cặp số đương nhiên sở hữu trật tự. Các điểm red color được link là những lớp tương tự thay mặt cho những số nguyên vẹn màu xanh da trời lam ở cuối loại.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số nguyên vẹn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan lại là những số đương nhiên (dương), số 0 và những số đối của những số đương nhiên. Tuy nhiên, loại khái niệm này kéo theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi phép tắc toán số học tập cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc chứng tỏ rằng những số nguyên vẹn tuân bám theo những lăm le luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do bại, vô toán học tập lý thuyết tụ tập văn minh, một cấu hình trừu tượng hơn[13] được chấp nhận người tao xác lập những phép tắc toán số học tập tuy nhiên không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do bại, những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được thiết kế đầu tiên giống như những lớp tương tự của những cặp số đương nhiên sở hữu trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của thành quả của phép tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một số trong những, tất cả chúng ta xác lập mối liên hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: việt nam có bao nhiêu tp trực thuộc trung ương

chỉ khi

Phép nằm trong và phép tắc nhân những số nguyên vẹn hoàn toàn có thể được khái niệm bám theo những phép tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự sở hữu (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc phép tắc nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc cộng) của một số trong những nguyên vẹn giành được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do bại phép tắc trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là phép tắc cùng theo với nghịch ngợm hòn đảo của phép tắc cộng:

Thứ tự động tiêu xài chuẩn chỉnh bên trên những số nguyên vẹn được thể hiện với bất đẳng thức:

Lúc và chỉ Lúc

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy theo việc lựa lựa chọn thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự sở hữu một member độc nhất sở hữu dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhị và một lúc). Số đương nhiên n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số đương nhiên được nhúng vô những số nguyên vẹn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và mang lại lớp [(0,0)] gấp đôi tự −0 = 0.

Do bại, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số đương nhiên được xác lập với những số nguyên vẹn ứng (sử dụng phép tắc nhúng được nhắc ở trên), thì quy ước này sẽ không dẫn đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này hồi phục màn trình diễn không xa lạ của những số nguyên vẹn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm thiết kế những số nguyên vẹn được dùng vị những máy dò thám lăm le lý tự động hóa và những khí cụ viết lách lại thuật ngữ. Số nguyên vẹn được màn trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được thiết kế bằng phương pháp dùng một vài ba phép tắc toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số đương nhiên, được giả thiết là đã và đang được thiết kế (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội thiết kế những số nguyên vẹn sở hữu lốt.[16] Các cấu hình này không giống nhau bám theo một số trong những cách: con số những phép tắc toán cơ bạn dạng được dùng mang lại cấu hình, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những phép tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng vẻ mặt mũi của những số đương nhiên thực hiện đối số của một số trong những phép tắc toán này và thực tiễn là những phép tắc toán này còn có nên là hàm tạo nên tự tại hay là không, tức là nằm trong một số trong những nguyên vẹn hoàn toàn có thể được màn trình diễn chỉ vị một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật thiết kế những số nguyên vẹn được trình diễn phía trên vô phần này ứng với tình huống ví dụ vô bại sở hữu một cặp phép tắc toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhị số đương nhiên và và trả về một số trong những nguyên vẹn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số nguyên vẹn 0 hoàn toàn có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật thiết kế này được dùng vị trợ lý chứng tỏ Isabelle; tuy vậy, nhiều khí cụ không giống dùng những chuyên môn thiết kế thay cho thế, xứng đáng lưu ý là những chuyên môn dựa vào những cấu hình tự tại, giản dị rộng lớn và hoàn toàn có thể được tiến hành hiệu suất cao rộng lớn vô PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nguyên vẹn thông thường là 1 trong loại tài liệu nguyên vẹn thủy trong số ngôn từ PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số nguyên vẹn chỉ hoàn toàn có thể thay mặt cho 1 tụ tập con cái của toàn bộ những số nguyên vẹn, vì như thế PC thực tiễn sở hữu dung tích hữu hạn. Dường như, vô màn trình diễn phép tắc bù nhị thông dụng, khái niệm cố hữu của lốt phân biệt thân ái "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc hẳn rằng PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số nguyên vẹn sở hữu thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số nguyên vẹn có tính nhiều năm cố định và thắt chặt (hoặc tụ tập con) được ký hiệu là int hoặc Integer vô một số trong những ngôn từ xây dựng (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn trình diễn số nguyên vẹn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số nguyên vẹn này vừa vặn với bộ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số nguyên vẹn không giống được tổ chức thực hiện với độ cao thấp cố định và thắt chặt, thông thường là một số trong những bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một số trong những chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tụ tập những số nguyên vẹn vị ℵ0 (aleph-null). Điều được đơn giản dễ dàng chứng tỏ bằng sự việc thiết kế một tuy vậy ánh, bại là 1 trong hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tao kiểm tra hàm sau:

Xem thêm: mỹ thuộc châu lục nào

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn vô vậy thì từng và từng thành phần của sở hữu một và có một thành phần ứng của và bám theo khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhị tụ tập này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số nguyên vẹn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày đôi mươi mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to tát Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Vi xử lý Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide to tát Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem đôi mươi.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng tư năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to tát Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons được thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số nguyên vẹn bên trên MathWorld.